Incerc sa scriu cateva propozitii care ajuta - poate - la incadrarea structurii matematice intre altele.

Cele de mai sus au sens intr-un spatiu de masura X (cu masurabilii M (caligrafic) si masura de la M la IR, functie notata cu m), pentru a introduce totul trebuie facut un curs de teoria masurii. (Curs de facultate.)

Cursul incepe atunci des cu "Fie ( X, M, m ) un spatiu de masura..."
M este o multime de parti ale lui X pe care "putem aplica masura".

Pentru analiza reala, pentru integrala definita de pe clasa a XI-a, ne intereseaza asa-zisa integrala Lebesgue pe IR (sau pe un interval din IR), dotat cu "borelienii" B (un M de mai sus) si cu masura care asociaza unui interval lungimea lui, extinsa apoi unic la B.

(Desigur ca se poate face teoria masurii pe spatii mult mai abstracte, toata teoria proabilitatilor, constructii ale miscarii Browniene, constructii de procese stocastice speciale, in fiecare caz vedem un alt spatiu, iar pana aici facem doar probabilitati. Apoi teoria numerelor ajunge uneori pe spatii de numere p-adice, pe care anumite integrale / masuri compatibile cu structura algebrica...)

Ramane sa incerc sa descriu spatiul de masura pe intervalul [0,1] si/sau pe IR, cel mai bine aici, cu Borelienii ca masurabili, cu masura Lebesgue.

Fie X fie intervalul [0,1], fie IR.
X are parti. Multe. Dintre ele izolam urmatoarele, in ansamblu, in "trib":

B = { Y parte a lui X : Y se poate face rost din intervale din X prin operatiile de intersectie (finita sau) numarabila, de reuniune (finita sau) numarabila, de luare a complementului }

(Ne putem economisi din definitie reuniunile, daca scriem de intersectii si invers, deoarece avem la indemana luarea complementului...)

B ese "multimea borelienilor".
Un element din B se numeste "borelian".

Masura Lebesgue m este definita pe B, asociaza unui borelian Y un numar real mai mare sau egal cu zero sau +infinit.

m( interval [a,b] ) este b-a . (Aici desigur a < b...)

Aceasta functie se extinde unic la tot B-ul.

De la aceste date se construiest o integrala, integrala Lebesgue pe X in modul urmator.

- pentru o functie caracteristica, chi_Y, definim integrala a fi m(Y). (Daca Y este interval si desenam graficul, cu cele doua salturi, atunci integrala este "aria...")

- pentru o combinatie liniara finita de functii caracteristice, asa-zisele functii in treapta, in trepte sau elementare, luam combinatia liniara de integrale pe chi-uri ca definitie. Din nou vedem "aria..."

- pentru o functie continua pe un interval marginit (extinsa cu 0 in afara), facem ca Riemann, o aproximam din ce in ce mai bine cu "trepte", luam limita. Este ce a facut Riemann mai intai.

- ... (si aici este inca mult de spus)


Un ultim lucru:
O functie de la X la IR (sau spre un alt spatiu masurabil) este masurabila, daca si numai daca prin definitie
intoarce (prin preimagine) masurabili in masurabili.

Exemplu: O functie continua este masurabila, deoarece intoarce intervale in intervale, iar orice masurabil putem sa il facem rost din intervale in spatiul de ajuns, preimaginea este compatibila cu...

Trimit, ar mai fi desigur mult de spus.

N-am inteles mare lucru, dar ultimul exemplu e perfect (Multumesc!). Cat despre multimea E, ea poate fi un interval?

[Citat] ... ea poate fi un interval?

Da, desigur.
Integrala Lebesgue pe (parti din) IR generalizeaza integrala Riemann.
Ori de câte ori putem scrie integrala (definita) Riemann, o putem scrie si pe cea Lebesgue. (Mot-a-mot.)

Nota: Teoria masurii este complicata pentru ca introduce cel mai general mod de "integrare" posibil, mod bun pentru toata matematica. In principiu, putem aduna numere, cateva, uneori putem forma si o serie, (suma cu numar numarabil de termeni,) dar sume folosind numere reale cu termeni "in numar mai mare" (decât numarabil) nu. De aceea, trebuie sa avem doar grija de "sumele finite" mai intai, integralele functiilor in treapta (cu numar finit de trepte), apoi de procesul unic (de existenta lui) de extindere la numar infinit de trepte, pentru a extinde aceasta integrala, apoi chiar la convergenta punctuala (cu exceptia unei multimi de masura nula) a unui sir crescator de functii, pentru a obtine clasa cea mai generala de functii integrabile.

De exemplu:

Luam o functie continua f pe [a,b].
Pentru a scrie integrala Riemann ne legam de o diviziune a intervalului si de puncte intermediare. Eu prefer sa ma leg direct de suma Riemann inferioara , respectiv superioara, in care luam punctele de diviziune pe fiecare interval, incat in ele sa se atinga minimul pe interval, respectiv maximul pe interval.

Dam de
Diviziune:
a=x0 < x1 < ... < xn = b ,
deci de o spargere in intervale I1 = [x0,x1], I2 = [x1,x2], ...
de puncte intermediare t1, ... , tn in care se ating minimele respectiv,
de puncte intermediare T1, ... , Tn in care se ating minimele respectiv,

dupa care asociem cele doua functii in treapta:

g este
f(t1) pe I1 ,
f(t2) pe I2 ,
... (constanta pe fiecare interval, graficul are "trepte")

G este
f(T1) pe I1 ,
f(T2) pe I2 ,
... (constanta pe fiecare interval, graficul are "trepte")

si este clar in ce sens avem
g (mai mic sau egal) f (mai mic sau egal) G .

Luand un si de diviziuni din ce in ce mai fin, dam de siruri de functii in treapta ce converg de jos, g-urile, de sus, G-urile, spre f.
Daca avem limita, am câstigat, functia este integrabila Riemann.

Exista insa si functii necontinue pentru care putem face aceasta afacere cu aproximarea, de exemplu functia de la IR la IR care este

1 pe Q (pe numerele rationale)
0 pe IR \ Q

si ceea ce facem cu integrala Riemann si cu functia egala cu 0 cu exceptia unui numar finit de puncte, facem si cu aceasta functie si un numar numarabil de puncte in cadrul Lebesgue, pentru a vedea ca "se poate integra".

Multumesc!