Pai daca g este surjectiva si as demonstra ca e monotona, atunci e continua. Pentru ca daca e monotona are limite laterale in orice punct si g(x-0)<=g(x)<=g(x+0). Daca inegalitatile ar fi stricte, intervalele (g(x-0),g(x)) nu ar apartine imaginii functiei g, ceea ce contrazice surjectivitatea.

Pai f e injectiva si are darboux. E continua si strict monotona

Eu am pus o alta intrebare, in fine, daca tot suntem aici, are f o inversa?
Care este solutia la problema speciala / specializata in care inlocuim f cu identitatea?

Pai asta as fi vrut sa demonstrez si eu, ca f bijectiva. Pentru ca putem lua o functie h astfel incat h compus cu g sa fie f. Atunci, daca f e bijectiva si h e bijectiva si compunem la stanga cu h la -1 si da ca g este h la -1 compus cu f care reprezinta compunerea a 2 functii continue.

[Citat] Pai asta as fi vrut sa demonstrez si eu, ca f bijectiva. Pentru ca putem lua o functie h astfel incat h compus cu g sa fie f. Atunci, daca f e bijectiva si h e bijectiva si compunem la stanga cu h la -1 si da ca g este h la -1 compus cu f care reprezinta compunerea a 2 functii continue.

Nu se intelege nimic din ce doriti sa spuneti sau sa demonstrati.
Ca sa avem un cadru clar, eu pun o intrebare si pana nu stiti raspunsul nu tipariti ce doriti, ci ce incercati in directia rezolvarii.

In enunt DAU EU, CAZ PARTICULAR, functia foarte speciala

f(x) = x pentru orice x real.

Evident ca este bijectiva, nu mai trebuie sa demonstrati sau sa vreti sa demonstrati nimic. Dar incercati sa rezolvati problema pentru aceasta functie.

(Apoi pentru functia arctg...)

Nota:
Fie g functia data de g(x) = x³ + x .
Ea satisface... pentru f(x) = x, deoarece modulul lui g'... si Lagrange.
Functia h din postarea de mai sus este atunci inversa lui g, nu a lui f.
Cum intorc lucrurile tot nu pot gasi ceva ce pot valorifica in directia unei solutii.