Fie

un polinom cu coeficienti intregi care are radacina rationala neintreaga

.
Este adevarat ca,

impartit la

da catul un polinom cu coeficienti tot intregi? Cum se arata?

Fara a restrange generalitatea, fractia p/q este ireductibila.

Atunci numitorul q divide coeficientul principal al lui f, deci f este de forma

f(X) = q c X^n + ... (termeni de grad mai mic)

de aici trecem la impartirea cu rest a lui f(X) la ( qX - p ) ,
scriem doar primul pas, dam de un polinom de grad (n-1) cu coeficienti intregi care are aceeasi proprietate, anume

f(X) - c ( qX - p ) din ZZ[X]

si rationam inductiv.

[Citat] Fara a restrange generalitatea, fractia p/q este ireductibila. Atunci numitorul q divide coeficientul principal al lui f, deci f este de forma f(X) = q c X^n + ... (termeni de grad mai mic) de aici trecem la impartirea cu rest a lui f(X) la ( qX - p ) , scriem doar primul pas, dam de un polinom de grad (n-1) cu coeficienti intregi care are aceeasi proprietate, anume f(X) - c ( qX - p ) din ZZ[X] si rationam inductiv.

Super, multumesc. Am gasit si o demonstratie pe baza lemei lui Gauss intre timp, dar asta e mult mai simpla.

[Citat] Super, multumesc. Am gasit si o demonstratie pe baza lemei lui Gauss intre timp, dar asta e mult mai simpla.

Lema lui Gauss se foloseste implicit in momentul in care folosim faptul ca acel q divide coeficientul principal...

[Citat] [Citat] Super, multumesc. Am gasit si o demonstratie pe baza lemei lui Gauss intre timp, dar asta e mult mai simpla. Lema lui Gauss se foloseste implicit in momentul in care folosim faptul ca acel q divide coeficientul principal...

Asta cred ca rezulta imediat(proprietate de manual).
Lema lui Gauss zice ca produsul a doua polinoame primitive e un polinom primitiv, nu?

Da. In cazul nostru putem apela sau nu la ea ca aici:

http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem#Proof_using_Gauss.27s_lemma