Buna ziua

Ce am vazut eu:ca suprafetele triunghiurilor ABE,AEF si FCA sunt egale intre ele.
Daca am putea determina marimea unghiului FCA problema ar fi rezolvata.

Enuntul cu "Se considera triunghiul ABC..." nu este cinstit, deoarece aflam in curand ca acest triunghi este foarte special. Reformulez:

[Citat]

Este aceasta problema initiala sau o reformulare?
(Scrieti va rog partile de formula mereu intre dolari, de exemplu triunghiul $ABC$ sau $3 BE = BC$, este mai usor de vazut despre ce e vorba.)

Greu de citit...

Nu mai folositi \\ in modul text din latex,
lasati pur si simplu una sau mai multe linii goale.

[Citat]

Mentionati va rog mereu nivelul problemei.
Mentionati va rog daca se poate si sursa.

In cazul de fata avem o problema enervanta. (Asa cum a fost pusa. Pur si simplu nu ne intereseaza niciodata "dublul marimii unghiului ... plus unghiul ...)

Buna seara
Imi cer scuze aveti dreptate am omis sursa si nivelul care se cer de obicei aici.
Pentru prima problema nivelul este de clasa a 7-a autor Niculai Solomon , Vaslui (Modele de teze unice INTERNET)
A doua problema la fel autori Ioana si Gheorghe Craciun ,Plopeni.
Am inteles rezolvarea multumesc foarte mult.
Acum inteleg din nou ca a preciza nivelul de rezolvare este foarte important.
Eu am incercat sa evit cele doua linii \\ si sa las una-doua linii goale dar nu mi-a iesit.
Voi mai incerca.
Inca odata multumesc!

Buna ziua
Va marturisesc ca ma chinuieste o intrebare si nu am vrut sa va spun pentru a nu va supara - dar pana la urma mi-am luat inima in dinti:
problemele sunt dupa mine foarte stiintific rezolvate-dar ma gandesc cum s-ar putea face la un nivel de clasa a saptea?
Ca sunt pozitionate pentru clasa a saptea.
Eu stiu? mai merita sa mai incercam sa le rezolvam si asa? adica fara trigonometrie? pentru ca in clasa a saptea cred ca nu se invata notiuni mai complexe de trigonometrie?
Gresala mare a fost a mea ca trebuia de la inceput sa va precizez nivelul de rezolvare.
Poate daca aveti timp ce spuneti? Cred ca la inceput drumul este cam la fel cum ati stabilit dumneavoastra cu mici deosebiri sa nu vorbim de functii trigonometrice.....
Poate ca exista o metoda sa "ocolim" aceste notiuni?
scuze!

Desigur ca avem si rezolvari mai simple,
(dar elevii din gimnaziu trebuie sa stie ca este nevoie de multa ingeniozitate si "ajutor" din calculele brute pentru a da de rezultat...)
constructia, problema cunoscuta legata de constelatia pe care o creaza problema, este de fapt armonioasa.
(Este o chestie de gust, de stil, daca ne legam de o constelatie simpla / complicata si divulgam constelatia sau ne ascundem intr-un tunel si cerem ceva ce mie mi se pare stupid. Sa comparam asadar problema ghicitoare cu rescrierea ei naturala... Ghicitoarea mai intai, apoi reformularea in care incerc sa folosesc aceleasi notatii...)

Figura este mai mult atragatoare si elevii au chiar sansa sa isi formeze ochiul geometric daca "le aratam tot mozaicul" si le cerem lucruri normale.

Revin cu solutia... (Sunt la lucru, trebuie sa imi termin si eu exercitiile pe aici...)

Pentru prima problema exista desigur si o solutie prozaica, ea merge dupa schema urmatoare si nu determina unghiurile triunghiului, este ca si cand suntem orbi din punct de vedere geometric, dar calculam un raport de laturi (care de obicei nu ne intereseaza).

Plecam cu ABC si E ca in problema.
Ducem AM inaltimea din A, M pe BC.

Fara a restrange generalitatea, EM este de lungime 1, unu, o unitate.
Din triunghiul dreptunghic AEM, unghiul lui dinA de 30° rezulta
AE = 2, AM = radical(3) .
Din triunghiul dreptunghic si isoscel ABM rezulta
BM = radical(3), AB = radical(6).

-- deci avem deja o latura din raportul cerut, mai trebuie sa dam de cealalta.

BE = BM - EM este atunci de lungime radical(3) - 1 .
De aici putem usor calcula MC = CE - EM = 2 BE - EM ...
In triunghiul dreptunghic AMC stim atunci doua catete, calculam usor ipotenuza AC ...

P.S. Eu sunt impotriva acestui tip de problema, elevii nu au nici o sansa sa vada frumusetea constelatiei geometrice, nu au sansa sa caute "un poligon regulat in care traieste figura", pur si simplu nu pot deveni buni pictori sau buni arhitecti sau buni matematicieni rezolvand asa ceva.

buna ziua
Multumesc foarte,foarte mult domnilor Gauss si Petre pentru indicatii si rezolvari.
Si-bineinteles din nou scuze ca trebuia de la inceput sa precizez domeniul si nivelul!