Exista matrice din A din Mn (R) astfel incat A^k diferit de On pentru k intre 1 si 2014 si A^2015=On?
Sursa:supliment gm nr 1/2015
Mul?umesc anticipat!

Ti-as fi aratat-o, dar se pot trimite solutii la aceasta problema la concursul viitoriolimpici.ro!!

Daca n este la alegerea noastra,
deci daca enuntul este

[Citat] Sa se arate ca exista n >1 natural si exista matrice din A din Mn (R) astfel incat A^k diferit de On pentru k intre 1 si 2014 si A^2015=On?

atunci este usor.

Matricea urmatoare "de permutare (ciclica)"

0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0

(care corespunde permutarii / ciclului (12345), 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 1)
- sa o notam cu B_5 -
are proprietatea ca puterea a cincea a ei este identitatea, dar nici o putere mai mica. (Grupul de permutari S(n) se scufunda in mod canonic in GL( n, ZZ ), grupul de matrice inversabile de marime nxn cu intrari intregi.)

Atunci putem sa ne legam pentru o solutie a problemei:

- fie de matricea de marime 2015 x 2015 corespunzatoare, B_2015,
- fie de o matrice cu 3 blocuri diagonale, B_5, B_13, B_31
- fie de ceva asemanator (folosind câte un alt ciclu si eventual o alta spargere).

[Citat] Ti-as fi aratat-o, dar se pot trimite solutii la aceasta problema la concursul viitoriolimpici.ro!!

Hm...

Cred ca se refera la oricare n.
(Nu vreau rezolvarea pentru concursul viitori olimpici, ma antrenez pentru olimpiada)
Adica blocuri diagonale?

[Citat] Adica blocuri diagonale?

Da, desigur.