Reprezentari si caractere:
http://en.wikipedia.org/wiki/Character_theory#Orthogonality_relations

A se cauta pe google grupuri cristalografice pentru mai mult...
Se merita.
Conway si Sloane au editat o carte despre "Sphere patchings", subgrupurile finite de matrice cu intrari rationale (sau intregi, dupa rezolvarea unei probleme de conjugare) vin cu o structura deosebita.

Nu cred ca se poate deduce faptul ca grupul este grup de izometrii.
De exemplu

genereaza grupul

.
Este adevarat ca grupul se poate conjuga cu un grup de izometrii. Sau imi scapa mie ceva?

Oricum, problema este clasica... pentru specialisti in reprezentari de grupuri.

Aceasta problema reprezinta, de fapt, doua teoreme/leme/proprietati/... din culegerea "Borne pentru matematicieni" de la editura Taida. Ele sunt doar enuntate, si eu as fi vrut sa stiu cum se demonstreaza...dar, dupa cum se vede... le luam ca propozitii "cunoscute" :D . Multumesc!

[Citat] Nu cred ca se poate deduce faptul ca grupul este grup de izometrii. De exemplu genereaza grupul . Este adevarat ca grupul se poate conjuga cu un grup de izometrii. Sau imi scapa mie ceva? Oricum, problema este clasica... pentru specialisti in reprezentari de grupuri.

Multumesc mult, am gresit rau, am avut impresia ca pot gasi repede laticea invariata de grup... Revin...

Nu are rost sa reinventam roata.

Moris Newmann, Michael Newmann, Integral Matrices, p. 173-175

Pentru ca aceasta carte parte sa fie inaccesibila online, ideea este urmatoarea:

• Se pleaca cu punctul (b). Se noteaza cu
  
  suma elementelor grupului. Evident aceasta matrice este invarianta la inmultire prin oricare din elementele grupului, de unde
  
  
  
  de aici rezulta (!!!) ca valorile proprii sunt zero respectiv
  
  . Am aratat ca
  
  
  
  
• Aplicatia
  
  
  
  este un monomorfism de grupuri, avand imaginea in alt spatiu de matrici (produsul tensorial repetat de k ori). Prin urmare
  
  
  
  
• Orice polinom p cu coeficienti intregi satisface
  
  
  
  
• Singurul element din grup cu urma egala cu n este matricea identica -- aici se foloseste un argument ca mai sus in postarea lui Gauss, anume suma a n radacini ale unitatii poate fi egala cu n doar daca toate sunt egale cu 1, plus faptul ca grupul este finit (!!!)
  
• Notam cu
  
  toate vaorile posibile ale urmei elementelor din grup DIFERITE DE n. e clar ca aceste valori sunt intregi, in intervalul -n,-n+1,...,n-1. Luam polinomul
  
  
  
  Combinand cele de mai sus vedem ca
  
  
  
  Cine este membrul drept? Este exact
  
  , care divide pe
  
  
  

[Citat] Nu are rost sa reinventam roata...

Multumesc mult...

Cartea pare a fi inca accesibila aici:

[url]http://www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MA_Algebra/MAtg_Group%20theory/Newman%20M.%20Integral%20matrices%20%28AP,%201972%29%28T%29%28244s%29_MAtg_.djvu

(ceva mai explicit, dar necompilat ca link pe pagina de fata...)

[url]http://www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MA_Algebra/MAtg_Group theory/Newman M. Integral matrices (AP, 1972)(T)(244s)_MAtg_.djvu

Este un capitol special dedicat subgrupurilor finite din GL( n, ZZ ) ...
Cele de mai sus nu ies deloc simplu.

Rezultatele din postare sunt intr-adevar (in ordine inversa...)
Lema IX.2 si Teorema IX.6 ...

Alte Link-uri (pentru mine in orice caz, daca mai dau pe bookmark-ul de aici inca o data...):

https://math.temple.edu/~lorenz/papers/sizes/sizes.pdf
[url]http://www.phys.nthu.edu.tw/~class/Group_theory/Chap%203.pdf
http://mathoverflow.net/questions/74370/finite-subgroup-of-gln-mathbb-z-and-congruences
http://www.crystallography.fr/mathcryst/pdf/Gargnano/Souvignier_Gargnano_text.pdf
http://www.college-de-france.fr/media/jean-pierre-serre/UPL3821667391778701726_6___Bounds_for_the_orders.pdf
https://ysharifi.wordpress.com/2011/02/17/finite-subgroups-of-gln-z/
Sphere Pachings, Conway, Sloane :: Carte cu de toate legate de combinatorica grupurilor, a reprezentarilor de grupuri...
Daniel N. Rockmore, A Note on The Order of Fine Subgroups of GL( n, ZZ ) .
Book, Finite Rational Matrix Groups, Nebe, Plesken, Memoirs of the AMS, 556
http://www.sagemath.org/doc/thematic_tutorials/lie/crystals.html sage page

Rezultatele nu sunt deloc triviale...