Fie a,b,c numere naturale astfel incat ab,bc,ac sa fie cuburi perfecte. Sa se arate ca a,b,c sunt de asemenea cuburi perfecte.

Fie p un numar prim care intervine in descompunerea in factori primi pentru a si/sau b si/sau c. (Sunt doar un numar finit de astfel de factori primi, deja anunge sa ne reducem la unul din ei...)

Fie s, t, u puterile cu care apare p in a, b, c.
Atunci s+t, t+u, u+s sunt trei numere care se divid cu 3.
Atunci numerele intregi obtinute ca diferenta
s-u = (s+t) - (t+u) si
t-s si
u-t
se divid de asemenea cu 3, deci s, t, u dau acelasi rest r la impartirea cu 3.
Deci s+t este congruent cu r+r = 2r modulo 3.
Dar acest numar se divide cu 3, din ipoteza, deci r este 0 modulo 3.
Deci s, t, u se divid cu 3.

Am terminat.