Buna seara!
Am o problema la care as avea nevoie de o indicatie de rezolvare, cu materie de clasa a 7-a.

Intr-un triunghi dreptunghic se stie ca o cateta este 40 iar proiectia celeilalte catete pe ipotenuza este 18. Sa se afle perimetrul si aria triunghiului.

Multumesc!

Buna seara
Construim triunghiul ABC dreptunghic cu unghiul drept in A si notam BC=a,AC=b,
AB=c.
Fie D piciorul perpendicularei coborata din A pe BC.
Folosim teorema catetei si avem ca:

Cu tot respectul, copiii nu stiu la clasa a 7-a sa rezolve o ecuatie de gradul al 2-lea...

Aveti dreptate sa ne gandim la o metoda prin care sa ocolim rezolvarea aceastei ecuatii de gradul doi

OK pai atunci sa facem asa:
facem ipoteza initiala ca dimensiunile triunghiului ABC respecta numerele Pitagoriene si anume: cateta AB=30 si ipotenuza BC este 50.(pentru a respecta insiruirea 30,40 si 50).
Daca in triunghiul dreptunghic ABD aplicam teorema lui Pitagora rezulta ca:

Facnd suma BD+CD obtinem valoarea 18+32 = 50 ceea ce confirma justetea ipotezei initiale.
Avand laturile triunghiului ABC rezulta evident aria si perimetrul.
Intr-un fel se cheama ca am folosit "metoda falsei ipoteze".
La fel si numerele 3,4 si 5 se cheama numere Pitagoriene din acelasi motiv.
Deci ideea de a alege acele valori am avut deoarece prin ipoteza una din catete este egala cu 40 care ar putea face parte din sirul numerelor Pitagoriene.

Si daca numerele ar fi fost, spre exemplu cateta 120, iar proiectia 54 credeti ca ar mai fi existat o rezolvare similara ?

Pai atunci nu ar fi fost pozitionata problema la nivelul clasei a 7-a.
Va rog sa ma credeti ca asta este intr-un fel o aplicatie a metodei "falsei ipoteze".
Mult succes daca mai aveti probleme va rog sa ma intrebati.
Acum s-ar putea sa existe si alte procedee dar acesta mie mi s-a parut in cazul de fata cel mai potrivit.

Cu tot respectul, probleme de genul apar in culegere dupa ce am invatat doar teorema inaltimii si teorema catetei. Teorema lui Pitagora inca nu ne-a fost predata, doar la tata am auzit de ea.

Nu vreau sa va contrazic dar vreau sa va amintesc ca teorema inaltimii,a catetei si a lui Pitagora se invata concomitent.
Daca nu ati studiat asa inseamna ca ceva nu este in regula.
Dar chiar daca ar fi asa rezolvati in acest fel problema si considerati tot respectul meu domnului tata care v-a invatat o teorie foarte utila in rezolvarea triunghiurilor dreptunghice.
Uitati ca un exemplu va indic cartea scolara"Algebra Geometrie clasa a 7-a" autori Dan Branzei,Anton Negrila,Maria Negrila partea I Editura Paralela 45 Mate 2000+8/9 pagina `104 : Teorema inaltimii,teorema catetei,teorema lui Pitagora,reciproca teoremei lui Pitagora toate scrise in aceeasi pagina.
Succes!

Eu as gandi asa:
Am invatat la clasa a 7-a doua formule de calacul

si

.
In triunghiul cu pricina notez cu x proiectia catetei cunoscute pe ipotenuza.
Avem cu teorema catetei ca

adica

, mai departe e simplu...

Buna ziua
Da ati avut arta sa ocoliti formula rezolvarii ecuatiei de gradul doi.
Numai ca domnul elev zice ca daca cifrele sunt altele ce ne facem?
Bine daca judecam asa putem rezolva problema cu ajutorul formei canonice si anume daca avem o ecuatie de gradul doi de forma

Cred ca asa ar trebui sa faca dar mi se pare destul de greu pentru nivelul lor.
Ei dar daca asta este parerea dumneavoastra nu vreau sa va contrazic - asa o fi!
Oricum parerile dumneavoastra imi sunt de mare ajutor in rezolvarea de probleme.