Buna seara
Daca lungimile laturilor unui triunghi verifica relatia

Zicem asa:
Daca

atunci aplicand proprietatea fundamentala a sirului de rapoarte egale avem:

.(si celelalte...)
Cum a,b,c sunt pozitive egalitatea este imposibila, asta insemnand ca a=b=c.

Buna ziua
Nu prea am inteles rezolvarea.
Daca aveti timp puteti sa dati niste detalii?
Multumesc foarte mult

[Citat] Buna ziua Nu prea am inteles rezolvarea. Daca aveti timp puteti sa dati niste detalii? Multumesc foarte mult

Lucrul urmator este folosit, asocierea de proportii derivate.

Daca avem egalitatea (de proportii = fractii)

A / B = X / Y ,

atunci putem continua de exemplu cu

A / B = X / Y = (A+X) / (B+Y) sau cu
A / B = X / Y = (A-X) / (B-Y)

cu conditia sa nu scriem numitori egali cu zero...

Buna seara
Bine inteles ca stiu despre proportii derivate.
Deci matematic am inteles.
Ce nu am inteles bine este explicatia precum si cum dovedeste ea ca laturile sunt egale intre ele.
Respectiv ca(citez) "cum a,b,c sunt pozitive egalitatea este imposibila ,asta insemnand ca a=b=c."
De ce daca egalitatea este imposibila a=b=c?
Se poate lamuriri suplimentare?
multumesc mult

[Citat] Buna seara Bine inteles ca stiu despre proportii derivate. Deci matematic am inteles. Ce nu am inteles bine este explicatia precum si cum dovedeste ea ca laturile sunt egale intre ele. Respectiv ca (citez) "cum a,b,c sunt pozitive egalitatea este imposibila, asta insemnand ca a=b=c."

Egalitatea este imposibila, deoarece
in stanga de tot avem un numar > 0
in dreapta de tot avem un numar < 0 .

Si (toata discutia) asta (de la inceput pana aici) arata ca avem o contradictie.
Presupunerea facuta este falsa, deci a = b = c .

Nota:
De fapt ajungea (si era mai bine pentru a se vedea direct argumentul) sa presupunem doar ca a si b sunt diferite, facam ca mai sus si impartim cu diferenta lor, dam de o contradictie. Deci a = b . Si la fel si b = c...

Nota:
Alternativ putem argumenta asa:
Fara a restrange generalitatea, putem presupune ca laturile sunt ordonate de la mic la mare in ordinea

a, b, c .

Atunci din

cc . (1/(a+b)) = aa . (1/(b+c))

si din faptul ca

cc mai mare sau egal decat aa
1/(a+b) mai mare sau egal decat 1/(b+c)

(si faptul ca inmultim dam de egalitate chiar)

deducem ca in cele doua inegalitati avem de fapt egalitatea...

Excelent!
Sigur ca acum am inteles.
Cred ca demonstratia a fost foarte buna doar ca trebuia mentiunea cu contrazicerea ipotezei initiale.
Multumesc frumos

Metoda de rezolvare este metoda reducerii la absurd(Teorema contrara reciprocei).
Aceasta presupune negarea concluziei.Apoi pe baza de rationament logic se ajunge la negarea ipotezei sau a unui fapt matematic dinainte cunoscut, adica se ajunge la o contradictie.Prin urmare presupunerea facuta este falsa (pista de plecare este gresita...)si deci rezulta concluzia.
Sa nu uitam ca teorema directa si contrara reciprocei sunt teoreme echivalente...

Prin urmare: cerinta era sa arat ca triunghiul este echilateral, adica a=b=c.
Negam asta: Daca a diferit de b....atunci pe baza proprietatilor sirului de rapoarte egale ajungem la egalitatea dintre un numar negativ si unul pozitiv...lucru imposibil( am ajuns sa contrazicem un fapt matematic dinainte cunoscut!,- adica nu neaparat din ipoteza!). Asta inseamna ca premisa de la care am pornit (adica a diferit de b....)este falsa.Asta inseamna ca a=b=c.
Acolo in demonstratie scrie "si celelalte". Era vorba de celelalte rapoarte...

Buna ziua
Domnule Petre va multumesc foarte mult pentru precizarile facute cu referire la rezolvarea problemei respective.
Eu cunosteam aceasta dar probabil din neatentie nu am vazut si aplicarea sa asupra problemei respective.
Cred de altfel ca explicatia initiala facuta de dumneavoastra a fost suficient de buna dar deoarece eu am fost neatent am intrebat din nou si domnul Gauss prin precizarea facuta m-a facut atent asupra rezolvarii respective.
Va multumesc incaodata pentru precizarile facute.
Cu stima