Fie polinomul P(X) = (X^2 + X - 1)^ n -X, n >1, n?N. S? se determine num?rul valorilor lui n pentru care polinomul admite r?d?cini duble.

[Citat] Fie polinomul P(X) = (X^2 + X - 1)^ n -X, n >1, n?N. S? se determine num?rul valorilor lui n pentru care polinomul admite r?d?cini duble.

P admite radacini duble daca si numai daca P si P' au o radacina comuna.
Ramane sa incercam sa rezolvam sistemul in necunoscuta complexa x,

P(x) = 0
P'(x) = 0

in care n apare in mod tacit.
Explicit:

(x^2 + x - 1)^n = x
n (x^2 + x - 1)^(n-1) (2x+1) = 1 .

Desigur ca radacinile parantezei (x^2 + x - 1) nu pot fi bune. Excludem repede pentru scopurile cautarii radacinii duble x si valoarea x=0 .
De aceea putem substitui x^2 + x - 1)^(n-1) cu x / (x^2 + x - 1)
sau sa impartim a doua ecuatie la prima, acelasi lucru,
dam de o ecuatie in "dimensiuni mici".

Care este aceasta ecuatie?
Cum putem lucra mai departe?

[Citat] [Citat] Fie polinomul P(X) = (X^2 + X - 1)^ n -X, n >1, n?N. S? se determine num?rul valorilor lui n pentru care polinomul admite r?d?cini duble. P admite radacini duble daca si numai daca P si P' au o radacina comuna. Ramane sa incercam sa rezolvam sistemul in necunoscuta complexa x, P(x) = 0 P'(x) = 0 in care n apare in mod tacit. Explicit: (x^2 + x - 1)^n = x n (x^2 + x - 1)^(n-1) (2x+1) = 1 . Desigur ca radacinile parantezei (x^2 + x - 1) nu pot fi bune. Excludem repede pentru scopurile cautarii radacinii duble x si valoarea x=0 . De aceea putem substitui x^2 + x - 1)^(n-1) cu x / (x^2 + x - 1) sau sa impartim a doua ecuatie la prima, acelasi lucru, dam de o ecuatie in "dimensiuni mici". Care este aceasta ecuatie? Cum putem lucra mai departe?

Se ajunge la o ecua?ie de gradul II cu parametru n. Din condi?ia ca discriminantul ecua?ii s? fie pozitiv se ob?ine n >= 10. Dar de exemplu pentru n = 11 se ob?in solu?iile - 1/3 ?i -1/7 care nu verific? cele 2 rela?ii.

Inca o data. Propun sa vorbim clar:

[Citat] Care este aceasta ecuatie? Cum putem lucra mai departe?

[Citat] Inca o data. Propun sa vorbim clar: [Citat] Care este aceasta ecuatie? Cum putem lucra mai departe?

Ecua?ia de gradul II este (2n-1)x^2 + (n - 1)x + 1 = 0, iar discriminantul ecua?iei este
n^2 - 10n + 5 = 0.
Din condi?ia ca acesta s? fie pozitiv ob?inem n >= 10.
Dar din p?cate pentru n = 11 se ob?ine ecua?ia de gradul II 21x^2 + 10x + 1 = 0 cu solu?iile -1/3 ?i -1/7 care nu verific? rela?iile P(x) = 0 ?i P'(x) = 0.

[Citat] Ecua?ia de gradul II este (2n-1)x^2 + (n - 1)x + 1 = 0, iar discriminantul ecua?iei este n^2 - 10n + 5 = 0. Din condi?ia ca acesta s? fie pozitiv ob?inem n >= 10. Dar din p?cate pentru n = 11 se ob?ine ecua?ia de gradul II 21x^2 + 10x + 1 = 0 cu solu?iile -1/3 ?i -1/7 care nu verific? rela?iile P(x) = 0 ?i P'(x) = 0.

Sper ca nu am gresit la calcule, am cautat o contradictie usor de tiparit.

Cred ca pe pagina de fata, pe pro-di, am vazut "cam aceeasi problema",
dar in loc de
x^2 + x - 1 era
x^2 - x + 1 .

Care este sursa problemei postate?

[Citat] [Citat] Ecua?ia de gradul II este (2n-1)x^2 + (n - 1)x + 1 = 0, iar discriminantul ecua?iei este n^2 - 10n + 5 = 0. Din condi?ia ca acesta s? fie pozitiv ob?inem n >= 10. Dar din p?cate pentru n = 11 se ob?ine ecua?ia de gradul II 21x^2 + 10x + 1 = 0 cu solu?iile -1/3 ?i -1/7 care nu verific? rela?iile P(x) = 0 ?i P'(x) = 0. Sper ca nu am gresit la calcule, am cautat o contradictie usor de tiparit. Cred ca pe pagina de fata, pe pro-di, am vazut "cam aceeasi problema", dar in loc de x^2 + x - 1 era x^2 - x + 1 . Care este sursa problemei postate?

Mul?umesc.
Problema s-a dat la concursul pentru liceele partenere a Universit??ii Politehnice Cluj, 2012.

[Citat] Problema s-a dat la concursul pentru liceele partenere a Universit??ii Politehnice Cluj, 2012.

Aparent, nu.
https://prajeamanuela.files.wordpress.com/2011/10/utc-ix-xii-2012-es.pdf

[Citat] [Citat] Problema s-a dat la concursul pentru liceele partenere a Universit??ii Politehnice Cluj, 2012. Aparent, nu. https://prajeamanuela.files.wordpress.com/2011/10/utc-ix-xii-2012-es.pdf

Sunt 2 concursuri. C?uta?i în culegerea de politehnic? Cluj.