1. Fie X un spatiu vectorial de dimensiune n, n?1. Fie u1, u2, ..., un vectori in X.
Sa se arate ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
a) Sistemul (u1, u2, ..., un) este liniar independent.
b)Sistemul (u1, u2, ..., un) este sistem de generatori pentru X
c)Sistemul (u1, u2, ..., un) este baza pentru X.

2.Se considera spatiul vectorial: {f:[0, ?/2]?R/f este continua}
Sa se arate ca vectorii f, g din X sunt liniar independenti, unde:
f:[0, ?/2]?R, f(x)=cosx
g:[0, ?/2]?R, g(x)= \sinx

3. Sa se calculeze ker(T), unde T: R3?R2 este aplicatia liniara definita prin
T(x, y, z) = (x-y, x+y+z)

Mai lasati va rog locuri goale unde le-ar lasa un manual (din punct de vedere tipografic). Altfel se citeste foarte greu.

[Citat] 1. Fie X un spatiu vectorial de dimensiune n, n?1. Fie u1, u2, ..., un vectori in X. Sa se arate ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente: a) Sistemul (u1, u2, ..., un) este liniar independent. b) Sistemul (u1, u2, ..., un) este sistem de generatori pentru X c) Sistemul (u1, u2, ..., un) este baza pentru X.

Acesta este un "exercitiu" care ar trebui clarificat intr-un curs, depinde in orice caz de lemele pe care le avem in mana in momentul in care este formulat.

Din cele din enunt, stim in orice caz ca orice spatiu vectorial are o "baza".
Care este definitia bazei in cursul cu pricina?
Se stie cumva ca orice doua baze au aceeasi cardinalitate?
Se stie cumva ca orice sistem liniar independent se poate extinde la o baza (prin adaugarea unei multimi de vectori...)?
Se stie cumva ca din orice sistem de generatori se poate extrage la o baza (prin eliminarea unei multimi de vectori...)?

[Citat] 2.Se considera spatiul vectorial: { f:[0, ?/2]?R | f este continua } Sa se arate ca vectorii f, g din X sunt liniar independenti, unde: f: [0, ?/2] ? R, f(x) = cos x g: [0, ?/2] ? R, g(x) = sin x

Presupunem prin absurd ca exista scalari reali a,b cu proprietatea ca

a f + b g = 0

(unde pe partea dreapta sta functia constanta, ce ia peste tot valoarea zero).
Consideram aceasta relatie in punctele speciale 0 si ?/2 .
Ce rezulta de aici?

[Citat] 3. Sa se calculeze ker(T), unde T: R3?R2 este aplicatia liniara definita prin T(x, y, z) = (x-y, x+y+z)

Ce este ker(T) prin definitie?
Care sistem (omogen) descrie (i..e are drept solutii) multimea elementelor (x,y,z) din nucleul lui T?

Multumesc frumos!
La 3 era vorba de nucleul lui T, dar l-am rezolvat, iar la primul o sa citesc mai atent cursul.

[Citat] La 3 era vorba de nucleul lui T...

Am spus si eu, accentul cadea pe faptul ca problema se rezolva de la definitie...