Pe laturile unui triunghi ABC se construiesc 3 triunghiuri isoscele asemenea APB([A P]?[P B]), AQC([AQ]?[QC]) si BRC([BR] ? [RC]), primele doua aflinduse aflându-se in exteriorul triunghiului ABC iar al treilea fiind asezat de aceeasi parte a dreptei BC ca si triunghiul ABC . Sa se arate ca APRQ este paralelogram.

Consulta?i http://goo.gl/HzlcXQ, pag. 14-16.

Pentru o solu?ie mai simpl?, ar?ta?i c? triunghiurile ABC ?i QRC sunt asemenea (cazul LUL), apoi c? ?i PBR e asemenea cu ele. Deduce?i c? QRC ?i PBR sunt, de fapt, congruente. Concluzia se ob?ine imediat.

O solu?ie ?i mai simpl? e cu numere complexe. Astfel, dac? triunghiurile AQC, BRC ?i BPA sunt direct asemenea (nefiind neap?rat isoscele), exist? z complex astfel ca
q=az+(1-z)c
p=bz+(1-z)a
r=bz+(1-z)c

Atunci APRQ e paralelogram dac? a+r=p+q, adic?

a+bz+(1-z)c=az+(1-z)c+bz+(1-z)a,

ceea ce e evident.