1. Fie A o mul?ime nevid? ?i finit? de numere reale. Dac? f:A?A este o func?ie strict cresc?toare (respectiv descresc?toare) s? se arate c? f = 1A.

2. Fie func?ia fm:R?R, definit? prin:
fm(x)= X2+mx+1, dac? x?0,
x+1, dac? x>0
unde m este un parametru real. S? se determine valorile lui m pentru care func?ia fm este surjectiv?, injectiv?, respectiv inversabil?. În cazul în care este inversabil? s? se determine inversa sa.

[Citat] 1. Fie A o mul?ime nevid? ?i finit? de numere reale. Dac? f:A?A este o func?ie strict cresc?toare (respectiv descresc?toare) s? se arate c? f = 1A.

Nota: Si daca f nu este o functie strict crescatoare putem sa nu facem nimic?
(Pentru ca asa am rezolvat problema in "mai mult de jumatate de cazuri"...)
Cei ce propun probleme care conditioneaza rezolvarea unei probleme de faptul ca o functie este crescatoare sau nu, fara a ne spune cum e, sunt rugati sa reformuleze.

Sa plecam cu f este strict crescatoare de la A la A, A multime finita de numere reale.
f este in particular injectiva.

Presupunem prin absurd ca f nu este identitatea lui A.
Atunci exista un a din A cu proprietatea ca (notatie) b = f(a) nu este egal cu a.

Impartim multimea A, domeniul de definitie al lui f, in trei parti,
A1 = multimea elementelor din A care sunt < a
A2 = {a}
A3 = multimea elementelor din A care sunt > a

Impartim multimea A, domeniul de valori al(e) lui f, in trei parti,
A1' = multimea elementelor din A care sunt < b
A2' = {b}
A3' = multimea elementelor din A care sunt > b

Deoarece f este strict crescatoare,
A1 se duce prin f in A1', (mai exact, f(A1) este submultime a lui A1',)
A2 se duce prin f in A2',
A3 se duce prin f in A3'.

Deoarece a si b difera,
A1 difera de A1' si
A3 difera de A3'.

Avem doua cazuri.
Cazul (1)
A1 are mai multe elemente decat A1' - caz in care obtinem contradictia din faptul ca nu putem duce injectiv A1 in A1'.

Cazul (3)
A3 are mai multe elemente decat A3' - caz in care obtinem contradictia din faptul ca nu putem duce injectiv A3 in A3'.

Presupunerea facuta este falsa.
Deci are loc ceea ce vrea problema de la noi.

Sau a?a: http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=33598

[Citat] 2. Fie func?ia fm:R?R, definit? prin: fm(x)= X2+mx+1, dac? x?0, x+1, dac? x>0 unde m este un parametru real. S? se determine valorile lui m pentru care func?ia fm este surjectiv?, injectiv?, respectiv inversabil?. În cazul în care este inversabil? s? se determine inversa sa.

Incercati va rog sa folositi latex.
Ce este acel X2 ? Cumva x^2 (x la patrat, adica x²) ?

Pe ramura cu x?0 functia este marginita inferior, de exemplu de minimul lui x^2 + mx + 1 care se atinge in -m/2 .

Pe ramura cu x>0 functia este marginita inferior, anume de 0+1 .
Deci functia f este marginita inferior, nu poate fi surjectiva.
Deci nu poate fi nici bijectiva.

Injectivitatea este din nou lezata. De exemplu putem argumenta explicit asa:

Daca m=0 avem f(-2) = 5 = f(4)

Altfel: Valoarea functiei date in -10|m| este
100 m^2 plus sau minus 10 m^2 + 1
deci o valoare mai mare decat 90 m^2 + 1 > 1,
care este luata desigur si pe ramura cu x > 0 .

[Citat] Sau a?a: http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=33598

Da, asa e mai bine...