Douazeci de numere care se scriu cu cifre identice (ex:11,222,333,9999, 11111,...) au suma 14302. Aratati ca cel putin doua sunt egale.

Din cate (vreau sa) inteleg, "cifre egale" in fiecare din cele 20 de numere inseamna implicit ca sunt cel putin doua cifre pentru fiecare din cele douazeci de numere.

Atunci grupam in câte o grupa la un loc toate numerele
de doua cifre, apoi
de trei cifre, apoi
de patru cifre, apoi
de cinci cifre
dintre cele douazeci si facem suma lor pe grupe.
Dam de ceva de forma:

11 a + 111 b + 1111 c + 11111 d = 14302 .

Presupunem acum prin absurd ca se poate realiza scrierea...
Atunci a, b, c, d sunt cel mult 45.

Codul (python) urmator gaseste singura solutie:
X = 14302.

for d in range( X/11111 + 1 ):
for c in range( X/1111 + 1 ):
for b in range( X/111 + 1 ):
for a in range( X/11 + 1 ):
if 11*a + 111*b + 1111*c + 11111*d == 14302:
if max( [a,b,c,d] ) <= 45:
print a,b,c,d

(La citare apar si spatii esentiale, rog a se copia de acolo, doar daca cineva vrea sa ruleze.)

Solutia (a,b,c,d) este:

38 35 9 0

Incercam sa folosim cât se poate de neeconomic acel 20.

Pentru 38, putem sa folosim cel mult numerele de la 1 la 9 cu exceptia lui 45-38 = 7 , deci cel mult 8 numere.

Pentru 35, putem sa folosim cel mult numerele de la 1 la 9 cu exceptia a doua numere cu suma 10 , deci cel mult 7 numere.

Pentru 9, deoarece 1+2+3+4 scapa dincolo, folosim cel mult trei cifre.

Daca vrem o solutie cu numere care (eventual) se repeta, nu avem decat sa luam reprezentarea cu
1+2+3+4+5+6+ 8+9 = 38
2+3+4+5+6+7+8 = 35
1+1+2+2+3 = 9

Solutia la care m-am gandit eu ar fi urmatoarea:
Numerele cu pricina sunt:

Suma celor mai mici 19 numere (din cele 20) de forma de mai sus este

. Al douazecilea numar nu poate fi mai mare decat

. Aceasta inseamna ca cele douazeci de numere sunt mai mici sau egale cu 6666 (24 de numere).Suma acestor 24 de numere este

.
Problema s-ar transpune astfel:Daca presupunem ca toate cele 20 de numere sunt diferite si au suma 14302, inseamna ca suma celorlalte patru (dintre cele 24)este 14519.Se pot alege patru numere care sa aiba cifre identice si care sa aiba suma 14519? Cum suma este de forma

trebuie ca printre ele sa fie si numere de forma

cu suma

,restul fiind numai multiplii de 11.Daca ar fi trei termeni de acest fel, suma celor mai mari trei numere care sa fie de forma de mai sus este

.Din numerele ramase nu putem gasi unul care adunat cu 2331 sa dea ca rezultat 14519.Daca dintre cele patru ar fi numai doua cu trei cifre identice cu suma de forma 11k+10 atunci ele ar fi

. Atunci suma celorlalte doua ar fi

. Dar suma celor mai mari numere este

. Prin urmare nu putem gasi patru astfel de numere si deci nici cele douazeci nu pot fi toate diferite doua cate doua. Deci printre cele douazeci de numere cel putin doua sunt egale.