Se considera a apartine la z7 si polinomul

. Sa se demonstreze ca pentru orice a aparinte la z7, polinomul este reductibil in z7[x].

Sunt la serviciu, asadar nu pot decat verifica cu ce am, pari/gp:
(19:32) gp > for( a=0,6, print( "a = ", a, " ... ", factor( x^6 + Mod(a,7)*x + Mod(5,7) ) ) )
a = 0 ... [Mod(1, 7)*x^3 + Mod(3, 7), 1; Mod(1, 7)*x^3 + Mod(4, 7), 1]
a = 1 ... [Mod(1, 7)*x + Mod(6, 7), 2; Mod(1, 7)*x^4 + Mod(2, 7)*x^3 + Mod(3, 7)*x^2 + Mod(4, 7)*x + Mod(5, 7), 1]
a = 2 ... [Mod(1, 7)*x + Mod(3, 7), 2; Mod(1, 7)*x^4 + Mod(1, 7)*x^3 + Mod(6, 7)*x^2 + Mod(4, 7)*x + Mod(6, 7), 1]
a = 3 ... [Mod(1, 7)*x + Mod(2, 7), 2; Mod(1, 7)*x^4 + Mod(3, 7)*x^3 + Mod(5, 7)*x^2 + Mod(3, 7)*x + Mod(3, 7), 1]
a = 4 ... [Mod(1, 7)*x + Mod(5, 7), 2; Mod(1, 7)*x^4 + Mod(4, 7)*x^3 + Mod(5, 7)*x^2 + Mod(4, 7)*x + Mod(3, 7), 1]
a = 5 ... [Mod(1, 7)*x + Mod(4, 7), 2; Mod(1, 7)*x^4 + Mod(6, 7)*x^3 + Mod(6, 7)*x^2 + Mod(3, 7)*x + Mod(6, 7), 1]
a = 6 ... [Mod(1, 7)*x + Mod(1, 7), 2; Mod(1, 7)*x^4 + Mod(5, 7)*x^3 + Mod(3, 7)*x^2 + Mod(3, 7)*x + Mod(5, 7), 1]

Si acum stim despre ce este vorba.
In majoritatea cazurilor avem un factor liniar, ajunge deci sa vedem ca in majoritatea cazurilor avem o radacina.
Solutia umana ar fi urmatoarea.

Verificare cu calculatorul pentru ultimul lucru:
(20:00) gp > for( x=1, 6, print( "x=", x, " (x^6+5)/x = ", (x^6+5)/x % 7 ) )
x=1 (x^6+5)/x = 6
x=2 (x^6+5)/x = 3
x=3 (x^6+5)/x = 2
x=4 (x^6+5)/x = 5
x=5 (x^6+5)/x = 4
x=6 (x^6+5)/x = 1