Daca chiar trebuie sa rezolvam cele de mai sus, ne legam de multimile preimagine prin f ale masurabililor din ( 0, oo ):

(0,1)
{1}
(1,oo)

pe care le notam respectiv cu
A
B
C
si problema are de-a face mai mult sau mai putin cu modul in care putem gasi in C un interval.

- Daca C este de masura nula, atunci si A este si avem un tip de necazuri, B este de masura 1, dam la o parte din B multimea de puncte de discontinuitate, care este de masura nula si dam de un B'. Complementul lui B' in [0,1] este un B''.
Putem acoperi B'' cu intervale (in numar finit) a caror suma de masuri este < 1/2 . Vedem ca ne raman un numar finit de intervale in afara lor, desigur ca avem masura lor > 1/2, deci cel putin un interval este nevid, pe unul din ele avem f = 1 si am terminat.

- Daca nu, dam la o parte din C multimea de masura nula pe care f este discontinua, aplicand teorema lui Lebesgue de caracterizare a unei functii integrabile Riemann, dam de un punct de continuitate si terminam repede. Aici aplicam, asa cum a spus si Pitagora mai sus un rezultat foarte puternic (Lebesgue).

Problema initiala se face cam la fel.