Fie x1, x2, . . . , xn numere reale din intervalul [0, 1]. Aratati ca exista x ? [0, 1] astfel incat |x ? x1| + |x ? x2| + . . . + |x ? xn| = n/2.

Eu am rezolvat aceasta problema astfel:
Presupunem fara a restrange generalitatea ca x1<=x2<=...<=xn.Fie acum x>=x indice k si x< x indice k+1.
Explicitand modulele avem: (x-x1+x-x2+....x-x indice k)+(x indice (k+1) - x+x indice (k+2)-x+....x indice n -x)=xk-( x_{1}+ x_{2}+...+ x_{k})+( x_{k+1}+ x_{k+2}+...+ x_{n})-x(n-k)=2xk-xn-( x_{1}+ x_{2}+...+ x_{k})+( x_{k+1}+ x_{k+2}+...+ x_{n}).

Notez E=x_{k+1}+ x_{k+2}+...+ x_{n} si P= x_{1}+ x_{2}+...+ x_{k}, unde E si P sunt evident numere pozitive.
Deci, relatia devine: 2xk-xn+E-P=n/2 ?E-P=n/2+xn-2xk
Dar, -k<=E-P<=n-k ?-k<=n/2+xn-2xk<=n-k.Daca arat ca exista x din [0,1] care satisface relatia data atunci problema este incheiata.Din inegalitatea din membrul stang obtinem x<=1/2 , iar din inegalitatea din membrul drept obtinem tot x<=1/2 pentru ca inegalitatiile sa fie adevarate pentru orice k, k de la 1 la n.
Deci, exista un x care satisface cerintele problemei.

Va rog frumos , daca se poate, sa-mi spuneti daca rezolvarea este corecta. Va multumesc!

[Citat] Daca arat ca exista x din [0,1] care satisface relatia data atunci problema este incheiata.

La care rela?ie v? referi?i?
Care e sursa problemei?

Prin relatie m-am referit la suma modulelor.(cea data din enuntul problemei)
Problema a fost propusa la concursul "Laurentiu Panaitopol"

[Citat] Prin relatie m-am referit la suma modulelor.(cea data din enuntul problemei) Problema a fost propusa la concursul "Laurentiu Panaitopol"

M?rturisesc c? nu în?eleg argumentele. De exemplu, daca exista x astfel ca -k<=n/2+xn-2xk<=n-k nu inseamn? c? E-P=n/2+xn-2xk.

Nu v?d cum se poate rezolva problema f?r? a folosi într-un fel sau altul (direct, sau mascat) continuitatea func?iei

Pe scurt, "rezolvarea" nu e corect?.

[Citat] ... Dar, -k<=E-P<=n-k ?-k<=n/2+xn-2xk<=n-k._LASATI LOC LIBER DUPA PUNCT__Daca arat ca exista x din [0,1] care satisface relatia data atunci problema este incheiata. Care relatie data? Din inegalitatea din membrul stang obtinem x<=1/2 , iar din inegalitatea din membrul drept obtinem tot x<=1/2 pentru ca inegalitatiile sa fie adevarate pentru orice k, k de la 1 la n. Deci, exista un x care satisface cerintele problemei. Va rog frumos , daca se poate, sa-mi spuneti daca rezolvarea este corecta. Va multumesc!

Nu este bine.
Acel
pentru orice k, k de la 1 la n.
este prea mult. Trebuie sa aratam ca exista un k, pentru care solutia ecuatiei de gradul I in x obtinuta dupa explicitarea modulelor produce un x care mai este si in intervalul care trebuie.

Din 10 puncte as da in conditii de olimpiada intre 0 si 3.
0 ar fi si ar ramane daca se corecteaza "pe bune" = dur si in plus chiar si la contestatie nu se poate completa de catre cel ce scrie asa ceva solutia pe acest drum chiar si in mod "vietnamez".

3 ar fi daca se corecteaza "blând", incercand sa se vada ce s-a facut. Dar daca as corecta ca mine, din 3 ar ramane cel mult 1 punct pe cele de mai sus, deoarece
-- subtilitatea de a spune ca *exista* un k ...
-- si mentionarea gasiri x-ului si in intervalul care trebuie
lipsesc.

Multumesc frumos!Mi-am dat seama de greseala.Totusi consider ca rezolvarea nu este de 0 puncte din 7 asa cum am primit pe ea.(In barem apare ca si la mine presupunerea ca x1<=x2<=...<=xn dupa care au continuat cu o functie liniara).Pana la acel moment rationamentul este corect(ma refer la mine acolo cu diferenta E-P).Cred ca 2 sau 3 puncte puteam sa primesc.