Daca a,b,c, sunt laturile unui triunghi de perimetru 1 aratati ca:

Avem

, unde

este semiperimetrul triunghiului.
Aplicam inegalitatea mediilor:

.
Dar

,

si

. Cu acestea, membrul drept al inegalitatii este egal cu

. Aratam ca

, inegalitate echivalenta cu

. (1)
Din teorema sinusurilor rezulta

. Rezulta

. Inlocuind in (1) si prelucrand putin inegalitatea, se obtine

.
Functia sinus este concava pe

si aplicand inegalitatea lui Jensen rezulta

, adica

[Citat] Avem , unde este semiperimetrul triunghiului. Aplicam inegalitatea mediilor: . Dar , si . Cu acestea, membrul drept al inegalitatii este egal cu . Aratam ca , inegalitate echivalenta cu . (1) Din teorema sinusurilor rezulta . Rezulta . Inlocuind in (1) si prelucrand putin inegalitatea, se obtine . Functia sinus este concava pe si aplicand inegalitatea lui Jensen rezulta , adica

Daca avem "dreptul" sa aplicam inegalitatea lui Jensen, putem s-o facem direct cu functia convexa pe intervalul

data de

Convexitatea poate fi aratata fie derivand direct de doua ori, fie observand ca functia este obtinuta prin compunerea unei functii concave cu o functie descrescatoare

Inegalitatea este de fapt una algebrica si nu prea avem nevoie de geometrie decat pentru a ne asigura ca lucram cu termeni pozitivi. Cum in forma initiala inegalitatea nu este omogena (comparam lucruri masurate in radical din metri in stanga cu numere in dreapta), iata o rescriere omogena cu o solutie care evita Jensen.

Iata solutia mea:

Fie

Avem:

Deci

Aplic Cebasev si obtin:

Am folosit inegalitatea Titu Andreescu:

unde a>0 , b>0 ; si

Avem o mica obiectie: oricat ar fi de flatant, nici macar Titu Andreescu in persoana n-ar fi de acord cu asocierea acelei inegalitati la numele lui

In alta ordine de idei ,interesante solutii. Insa nu ne putem abtine sa nu remarcam faptul ca orice inegalitate de acest tip se rezolva aproape automat folosind derivate partiale (materie de facultate...). De indata ce o inegalitate isi pierde simetria, nici un artificiu nu prea mai functioneaza.

Obsesia lui Euclid: sa gasim solutii si/sau metode aplicabile la cazuri cat mai generale.

P.S. Ne-am permis sa editam (strict din punctul de vedere tehnic al LaTeX-ului) unele mesaje. Acest lucru l-am facut de cateva ori in mod cu totul exceptional si n-o sa-l mai facem. Asteptam intrebari in legatura cu LaTeX-ul si/sau protestele cuvenite.

[Citat] Avem o mica obiectie: oricat ar fi de flatant, nici macar Titu Andreescu in persoana n-ar fi de acord cu asocierea acelei inegalitati la numele lui In alta ordine de idei ,interesante solutii. Insa nu ne putem abtine sa nu remarcam faptul ca orice inegalitate de acest tip se rezolva aproape automat folosind derivate partiale (materie de facultate...). De indata ce o inegalitate isi pierde simetria, nici un artificiu nu prea mai functioneaza. Obsesia lui Euclid: sa gasim solutii si/sau metode aplicabile la cazuri cat mai generale. P.S. Ne-am permis sa editam (strict din punctul de vedere tehnic al LaTeX-ului) unele mesaje. Acest lucru l-am facut de cateva ori in mod cu totul exceptional si n-o sa-l mai facem. Asteptam intrebari in legatura cu LaTeX-ul si/sau protestele cuvenite.

E corect ce spuneti in legatura cu inegalitatea careia i se zice "Titu Andreescu" Nu este a lui si in plus are o generalizare data de prof Manuela Prajea din Timisoara Dar asta nu ma deranjeaza cu nimic daca ajuta in rezolvare.E mai la indemana sa folosesc inegalitatea cu numele asta (ca idee de lucru).Putea fi numita si inegalitatea lui Gheorghe ...Nu asta e problema cea mai importanta...ci solutia problemei.Multumesc de ajutor cu LaTeX-ul.M-am cam chinuit ieri pana m-am lasat pagubas...Nu stiu unde am gresit si nici n-am dibuit greseala...

[Citat] [Citat] Avem o mica obiectie: oricat ar fi de flatant, nici macar Titu Andreescu in persoana n-ar fi de acord cu asocierea acelei inegalitati la numele lui In alta ordine de idei ,interesante solutii. Insa nu ne putem abtine sa nu remarcam faptul ca orice inegalitate de acest tip se rezolva aproape automat folosind derivate partiale (materie de facultate...). De indata ce o inegalitate isi pierde simetria, nici un artificiu nu prea mai functioneaza. Obsesia lui Euclid: sa gasim solutii si/sau metode aplicabile la cazuri cat mai generale. P.S. Ne-am permis sa editam (strict din punctul de vedere tehnic al LaTeX-ului) unele mesaje. Acest lucru l-am facut de cateva ori in mod cu totul exceptional si n-o sa-l mai facem. Asteptam intrebari in legatura cu LaTeX-ul si/sau protestele cuvenite. E corect ce spuneti in legatura cu inegalitatea careia i se zice "Titu Andreescu" Nu este a lui si in plus are o generalizare data de prof Manuela Prajea din Timisoara Dar asta nu ma deranjeaza cu nimic daca ajuta in rezolvare.E mai la indemana sa folosesc inegalitatea cu numele asta (ca idee de lucru).Putea fi numita si inegalitatea lui Gheorghe ...Nu asta e problema cea mai importanta...ci solutia problemei.Multumesc de ajutor cu LaTeX-ul.M-am cam chinuit ieri pana m-am lasat pagubas...Nu stiu unde am gresit si nici n-am dibuit greseala...

Puneti acolade numai acolo unde este necesar. In LaTeX partea dintre { si } se numeste "grup". Grupurile trebuie sa fie consistente. Ati uitat sa inchideti unul din grupuri, greseala minora, dar fatala. In alta ordine de idei, felicitari pentru progres !

Multumesc pentru felicitari! Unde n-am pus acolada? Am verificat dar n-am gasit..,Incerc sa invat cat mai mult. Daca AM AJUTOR sunt receptiv.