Aratati ca B={(1,-1,0),(1,1,0),(1,1,1)} este baza in

. Determinati coordonatele vectorului v=(1,1,-1) si matricea operatorului identic in aceasta baza.

[Citat] Aratati ca B={(1,-1,0),(1,1,0),(1,1,1)} este baza in [ equation]$\R^3$[/equation]. Determinati coordonatele vectorului v=(1,1,-1) si matricea operatorului identic in aceasta baza.

Pentru ca B sa fie baza este necesar si suficient ca matricea formata in vectorii din B (pusi unul sub altul pe linie, daca ii scriem "orizontal" ca mai sus) sa fie inversabila.

Pentru a determina coordonatele, trebuie sa gasim a,b,c din

(1,1,-1) = a(1,-1,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1)

care revine repede echivalent la rezolvarea unui sistem.
Am folosit *definitia* coordonatelor unui vector relativ la o baza.
Data viitoare voi intreba care este definitia si cum se aplica.

Care este solutia acestui sistem?

Ducem primul vector din B prin aplicatia identica din IR^3 (tot in IR^3). Care sunt coordonatele imaginii obtinute?

Ducem al doilea vector din B prin aplicatia identica din IR^3 (tot in IR^3). Care sunt coordonatele imaginii obtinute?

Ducem al treilea vector din B prin aplicatia identica din IR^3 (tot in IR^3). Care sunt coordonatele imaginii obtinute?

Cum este definita matricea unei aplicatii liniare fata de o baza data (ca baza de intrare si de iesire)?

Care este deci matricea aplicatiei identice in cazul de fata?

Generalizarea cum arata?

Am obtinut coordonatele lui v in baza B (0, 2, -1)
Operatorul identic in IR^3 este f(x,y,z) = (x,y,z). Daca il aplic vectorilor din baza obtin:
f(1,-1,0) = (1,-1,0)
f(1,1,0) = (1,1,0)
f(1,1,1) = (1,1,1)
Pentru a obtine matricea operatorului identic trebuie sa exprim vectorii de mai sus in baza B.
Astfel am obtinut ca matricea operatorului identic este

Da, este I_3.

In general, matricea aplicatiei identitate, scrisa fata de baza B (la intrare si iesire) este matricea unitate (cea cu 1 pe diagonala si 0 in rest) de dimensiunile corespunzatoare dimensiunii spatiului vectorial pe care ne aflam.