Totul va va deveni clar in momentul in care faceti la facultate varietati diferentiabile si intelegeti ce inseamna o harta locala pentru o astfel de varietate. Idea principala este faptul ca nu IR-ul este lucrul central, ci varietatea pe care lucram, care poate fi data local de o harta sau alta.
Hartile le intelegem cel mai bine daca chiar luam cateva harti ale globului.
Daca luam harta Europei la nivel de hartie de carte, carte pe care o putem pune pe masa, atunci desenand mai departe pe masa, vedem ca trebuie sa facem Americile foarte mari pentru a pastra "simtul directiilor din avion", iar Alaska ne apare foarte mare. Exista si un banc de forma asta, cu doi americani care viziteaza Noua Zeelanda si cand ajung cu avionul mai cumpara pe langa harta din brosura cu care au venit din New York inca si o harta locala a insulei, mai detaliata. Unul din americani spune: "Iar ne-au vandut Europa cat America de mare, dar de data asta au intrecut masura, suntem chiar pe o insula... Maine ce mai facem?"
Problema este ca acest mod de desenare omoara curbura, un invariant puternic al geometriei Riemanniene. Dar sa desenam, stim ca distantele de pe hartie nu sunt si cele din lumea reala.
De aceea, daca vrem sa facem geometrie diferentiala, trebuie sa stim ce este o functie si cum se transforma ea de la o harta la alta. In harti diferite se folosesc litere diferite.
De exemplu daca avem doua aplicatii
f: U (bucata de hartie) din IR^2 --> suprafata Pamantului si
g: V (bucata de hartie) din IR^2 --> suprafata Pamantului
doua harti,
scriem de obicei f(u) pentru imaginea unui u din U si g(v) pentru imaginea unui v din V. Pana aici nu este nimic rau in imaginatie si notatie. Rau pot sa stea lucrurile cand atat U cat si V le scriem a fi IR^2 ... (Si consideram ca IR^2 este miezul afacerii, cand de fapt, modul in care acoperim Pamantul cu astfel de bucati de cauciuc este miezul afacerii.)
Din experienta de la scoala, modul in care se imbuca functiile este clar, atat prin ochelarii lui f cat si prin cei ai lui g, o functie "temperatura" de exemplu T : Pamant -> (0,oo) este usor de inteles si e usor de inteles cand avem compatibilitatea.
Cel cu ochelarii lui f cunoaste de fapt functia temperatura in harta locala U, deci cunoaste doar U si compunerea Tof de la U la ( 0, oo ).
Cel cu ochelarii lui g cunoaste de fapt functia temperatura in harta locala V, deci cunoaste doar V si compunerea Tog de la U la ( 0, oo ).
Avem compatibilitatea doar daca stim cum sa trecem de la o harta la alta pe ceea ce corespunde intersectiei hartilor. Deci luam f(U) si g(V), dam de doua petece (probabil diferite) de pamant, le intersectam.
Apoi cel cu ochelarii lui f vede intersectia pe Pamant si stie ce stie g din "pamantul lui" U, anume un U' care ii este accesibil lui g. Si la fel pentru g un V'.
Cei doi se pot intelege daca cunosc restrictia lui
g^(-1) o f de la U' la V' .
Intelegerea acestei lipiri (abstracte) este esentiala pentru a intelege ce fac fizicienii = matematicieniii in acest secol. Si daca la facultate nu se prezinta curand punctul acesta global de vedere asupra geometriei diferentiale, in centru, daca inca mai facem doar calcule locale toata viata, atunci ratam mersul lumii.
Si acum trecem de la functii si lipituri de functii la ceva ce trebuie sa integram. Ei bine, lucrurile care se lipesc la integrare au acel dx in coada.
In dimensiune dubla, trebuie sa notam cumva coordonatele de pe U-ul lui f si ... sa zicem ca le spunem u' si u'', deci un punct din U este de forma u ( u', u'' ). Atunci dam de o 2-forma diferentiala pe care o scriem ca fiind
functie(u) du' /\ du''
asta in lumea locala a lui U, a lui f,
acelasi lucru trebuie sa il facem si pentru viziunea locala a lui V, cu ochelarii lui g, lipirea insemnand ca avem un mod de a spune cum se corespund aceste 2-forme diferentiale de la o lume la alta. Si ne astepatam sa dam de aceeasi integrala.
Si acum revenim la partea cu integralele din liceu.
Noi avem de integrat o functie
F, o forta a unui alpinist in timp ce se plimba pe un munte, cel mai bine ne gandim ca vrem sa dam de un
Lucru mecanic efectuat. Cel ce merge pe munte isi stie pasii uneori mai mari, uneori mai mici, parametrizeaza cararea cu timpul care trece si da de intervalul de timp U = [ 0s, 3600s ] .
El stie ce simte si in raport cu parametrizarea lui, t, pentru timp da de o functie
U -> IR , t -> F(t) .
Un observator exterior, care l-a cablat bine pe alpinist si l-a conectat la GPS, are alt mod de a masura ceva, poate ia coordonatele GPS drept date de baza, pentru ca asa vin masuratorile.
El da de un alt mod de a vedea lumea, are o functie
S -> IR, s -> Phi(s) .
Desigur ca avem si o functie de trecere, pe care observatorul o stie.
Si atunci trebuie cumva sa trecem de la forma diferentiala
F(t) dt
la forma diferentiala scrisa in celelate coordonate
Phi(s) ds .
Geometria diferentiala ne spune ce si cum.
Indiferent in ce sistem (bun) de coordonate (de spatiu si timp) calculam integrala, trebuie sa dam de acelasi lucru, altfel fizica nu are nici un sens.
Import ant este sa stim ce marimi sunt locale, ce marimi sunt globale, in sensul ca se "lipesc bine", sunt invariante la o schimbare de coordonate. Integrala este un prim exemplu netrivial din matematica de liceu.
Si acum referitor la intrebarea pusa.
Ganditi-va ca mai sus s si t sunt coordonate ale spatiului de parametrizare, ca pentru a unifica cele doua spatii trebuie sa stim functia de trecere, care este o functie u (la scoala) de schimbare de spatiu, de parametrizare, si il folosim pe u pentru a trece de la F d? la Phi d?? . Unde d? si d?? sunt masuri, in sensul lui Riemann, parte de notatie. In scoala nu avem inca notatia pentru integrala lui F sub forma
Access general
Conţine mesaje necitite
