Buna ziua.
Am si eu urmatorul exercitiu :

Multumesc anticipat!

Este textul problemei complet?

Ma scuzati , am uitat

[Citat] Ma scuzati , am uitat

Banuiesc ca ati vrut sa scrieti

, dar tot avem niste incurcaturi. Nu este cumva

?

este..

[Citat] este..

Aceasta ipoteza mi se pare inutila. Tot vom avea de studiat cazurile

si

. Luati de exemplu a=10 si

si calculati primii termeni. Apoi luati a=3 si

si calculati primii termeni. Ce observam?

De unde provine problema?

Nu stiu , ne-a scris-o domnul profesor pe tabla si nu ne-a specificat de unde este.

Notand

avem

. Se demonstreaza ca

i)

pentru

si

pentru

ii) sirul este descrescator
iii) Daca

atunci

iv) Daca

atunci

Mai ramane cazul

cand sirul este stationar.

Se poate sa-mi explicati mai mult?
Mi s-a spus ca o sa facem mai multe exercitii asemanatoare si vreau sa le inteleg bine..
Multumesc pentru timpul acordat.

Studiem intai cazul

.

Se demonstreaza prin inductie ca

pentru orice n, deci sirul este marginit.

Observam ca

pentru orice n, deci sirul este descrescator.

Fiind monoton si marginit sirul este convergent catre o limita finita pe care o notam l. Trecand la limita in relatia de recuremnta obtinem

si prin urmare l=0.

Folosind teorema Cesaro-Stolz avem

Hai sa vedem acum cazul

. Atunci

si se demonstreaza prin inductie ca

pentru orice n>1. La fel ca la cazul precedent demonstram ca sirul este descrescator. Daca presupunem ca sirul este marginit inferior atunci obtinem ca este convergent la 0 ceea ce este imposibil pentru un sir strict descrescator de numere strict negative (pentru n>1). Deci sirul este nemarginit inferior si prin urmare este convergent la

.