Am cateva exercitii pe care nu le-am inteles si nu stiu cum sa le rezolv .

1.Sa se demonstreze ca

2.Demonstrati ca

3.Sa se determine cel mai mare element al multimii

4.Sa se calculeze

5.Sa se calculeze

Rog pe cineva sa ma ajute sa inteleg cum se procedeaza cu aceste exercitii.Multumesc anticipat!

Folosim

cos(pi)=-1
sin(pi)=0

Folosim

Folosim

Asadar

La fel faci si pentru

Inteleg demersurile pe care le-ai facut dupa rezolvarea acestei etape , ele fiind pe baza unor formule . Ceea ce nu inteleg este de unde stii sa scrii

.Intr-adevar daca aducem la acelasi numitor ne da functia sin din exercitiu, dar daca avem

? Cum ar trebui sa ma gandesc sa rezolv acest exercitiu?Daca as sta prin incercari sa caut sa obtin functia initiala aducand la acelasi numitor mi-ar lua foarte mult timp . Sper ca intelegi ceea ce nu inteleg.

[Citat] Inteleg demersurile pe care le-ai facut dupa rezolvarea acestei etape , ele fiind pe baza unor formule . Ceea ce nu inteleg este de unde stii sa scrii .Intr-adevar daca aducem la acelasi numitor ne da functia sin din exercitiu, dar daca avem ? Cum ar trebui sa ma gandesc sa rezolv acest exercitiu?Daca as sta prin incercari sa caut sa obtin functia initiala aducand la acelasi numitor mi-ar lua foarte mult timp . Sper ca intelegi ceea ce nu inteleg.

Raspunsul general este: cat mai mult exercitiu, daca lucrezi suficient, la un moment dat le "vezi" imediat fara sa-ti trebuiasc retete "babesti".

Concret, in cazul de fata exista si o varianta mai simpla:

(s-a folosit perioada si imparitatea lui sinus)
Ideea de baza: la numitor e 4, deci caut un multiplu de 4, cel mai apropiat de 7, care este 8, si scriu la numaratorpe 7pi=8pi-pi.
Dupa ce faci multe exemple o sa te "prinzi".
Ce-i drept, exista si formulele de reducere la primul cadran, dar cu ideea asta simpla de a avea in vedere scrierea numaratorului in functie de un multiplu al numitorului iese practic si fara sa stii formulele acelea.
Adica: daca x e in cadranul II el se scrie intotdeauna x=pi-a, unde a e in cadranul I
in cadranul III x=pi+a
iar in IV: x=2pi-a.
Dar in practica se prefera tot artificii ca mai sus, pentru a obtine pi-ul si acel "a".
In cazul dat de tine cu 3000, zic sa imparti intai 3000 la 11, apoi vezi catul si restul si folosesti 3000=11*CAT+REST, apoi se distribuie 11-le de la numitor si iti ramane. Dar n-o sa gasesti exercitii cu numitor 11, ptr ca nu ajungi la unghiuri speciale, c valori cunoscute.
Incearca in schimb sin de 3000pi/4.

As mai da exemple dar deja ma dor ochii cu latexul asta criminal doar dupa randul de mai sus...
Hai sa dau, cu numitor 4:
5pi/4=(4pi+pi)/4
6pi/4=simplificare=3pi/2 direct
7pi/4=(8pi-pi)/4
9pi/4=(8pi+pi)/4=2pi+pi/4
10pi/4=se simplifica=5pi/2=(4pi+pi)/2
11pi/4=(12pi-pi)/4=3pi-pi/4=2pi+pi-pi/4
Observi ca aici 11 l-am scris in functie de 12, si nu tot de 8, ptr a ajunge la sfarsit la un unghi cat mai mic. Deasemenea, am ramas cu 3pi care l-am scris ca 2pi+pi,m ptr ca 2pi e perioada si "poate sa dispara", si ramane sa aplic formula pentru sin(pi-pi/4), ajungand la unghi cunoscut din cadranul I.

Scuze pentru lipsa latexului, dar este criminal sa scriu toate fractiile astea si pi-urile astea.

La fel de bine se poate scrie sin (3?/4 + 4?/4 ).

Deci la 4 cum vei face?>
Avand la numitor 12 si la numarator 23, cauti acel multiplu de 12 afalat cel mai aproape de 23. Care este el? Cum scrii apoi?
Vezi ca ajungi la cos de pi/12, care nu este chiar unghi remarcabil, dar este jumatatea unui unghi remarcabil, deci aplici formula pentru sin(x/2)

La 1, e important sa precizam ca neexistand simbolul de grade, e vorba de sinus de 6 radiani. Pentru a stabili semnul, tot ce trebuie sa fac e sa vad in ce cadran "pica" unghiul de 6 radiani sau mai exact punctul sau corespunzator de pe cercul trigonometric.
Cum 2pi=6,28... e clar cadranul, apoi cred ca e clar semnul lui sinus inm acel cadran.

[Citat] La fel de bine se poate scrie sin (3?/4 + 4?/4 ).

Da, dar aici apoi trebuie sa te ocupi de 3pi/4.
In cazul meu, ajungi direct la pi/4.

La 2), prima inegalitatea inseamna semnul lui sin3, pe care-l faci ca mai inainte, vezi in ce cadran pica 3 radiani. Pai 3 e putin inainte de 3,14=pi, acolo unde "Se termina " cadranul 2, deci va fi in cadranul 2.

Pentru sin3<0,15, intai il "reducem" pe 3 la primul cadran
adica il scriu
3=pi-0,14... deci sin3=formula...=sin 0,14....<0,14...<0,15.
Am folosit inegalitatea cunoscuta sinx<x, valabila pentru orice numar pozitiv x!
"..." de dupa 0,14 sunt necesare ptr ca de fapt am o infinitate de zecimale, dar ele nu ma afecteaza cu nimic in situatia mea de aici.

LA 3, ne bazam tot pe cercul trigonometric.
Deseneaza cercul
Marcheaza, pe cerc, punctele corespunzatoare ptr 1,2,3 radiani.
Conform defintiei functei cosinus, cos1=abscisa pct 1, etc.
Te uiti la ordinea acestor abscise.

Am ajuns intr-adevar la cos ( pi/12) si nu stiu ce sa ii mai fac.

[Citat] Am ajuns intr-adevar la cos ( pi/12) si nu stiu ce sa ii mai fac.

pi/12 e jumatatea lui pi/6.

Daca in formula
sin(x/2)=... (Cauta, ceva cu radical)
punem x=pi/6, ce obtinem?

Alta varianta: uneori e bine sa transformam in grade, pentru a "gandi" mai usor.
pi/12 este echivalent cu 180/12=15 grade.

15 grade se poate exprima ca diferenta a doua unghiuri remarcabile:
15 grade=45 grade-30 grade.
De aici cred ca e clar.
De fapt a doua solutie e mai simpla si de preferat celei cu sin(x/2), in acest caz.