La calculul unor integrale rationale prin metoda descompunerii in fractii simple, se ajunge la determinarea unor coeficienti dintr-o egalitate de polinoame cu coeficienti reali.
In cazul cand apar factori de gradul doi, ptr scurtarea calculelor, ii putem da lui x ca valoare o radacina complexa a acestui factor.
Care este explicatia riguroasa pt ca acest lucru e permis?Ca nu am inteles exact la clasa. In mod normal integralele se calculeaza ptr functii reale, totusi de ce pot sa vin cu numere complexe?

Adica eu inteles intr-un mod intuitiv si vag ca e ok aceasta "iesire in complex", dar as dori un argument matematic exact.

De ex am integrala din (2x+3)/[(x^2+1)(x^2+4)]
Desc in fractii simple conduce la egalitatea:
2x+3=(Ax+B)(x^2+4)+(Cx+D)(x^2+1), pentru orice x real.
Aici eu insa vin si iau x=i si determin rapid pe A,B apoi x=2i si gasesc imediat C,D.
E clar ca daca egalitatea de polinoame e valabila in real, polinoamele au aceiasi coeficienti, deci egalitatea e valabila si in complex.

Sau mai exact:
Daca p si q sunt 2 functii polinomiale cu coeficienti reali
iar p' si q' prelungirile lor la multimea C,
atunci p=q echivalent p'=q'.
Dar nu stiu de ce mi se pare ca ceva este neclar, imi scapa ceva?

[Citat] ... Descompunerea in fractii simple conduce la egalitatea: 2x + 3 = (Ax+B)(x^2+4) + (Cx+D)(x^2+1), pentru orice x real.

(Nu mai prescurtati, va rog, nu e chiar asa de rau, dar fiecare dintre cei ce citesc are la punctul respectiv cateva secunde in care ochii trec de trei ori peste "cuvantul" "Desc"... Irita doar.)

Daca egalitatea are loc pentru orice x real,
ea are loc si pentru orice x complex.

Demonstratie:
Luam polinomul diferenta, vazut ca polinom cu coeficienti complecsi.
El este de grad cel mult trei. Deoarece el are mai mult de trei radacini (fiecare numar real il chiar anuleaza), acest polinom este identic nul.