Fie n>=2 un numar natural. Sa se descompuna n in suma de 3 numere naturale astfel incat produsul acestora sa fie maxim.

[Citat] Fie n>=2 un numar natural. Sa se descompuna n in suma de 3 numere naturale astfel incat produsul acestora sa fie maxim.

Propun sa intelegem mai intai ce se intampla pe cateva cazuri particulare (tipice):

Care este descompunerea pentru n = 99 ? (Raspuns obligatoriu... altfel degeaba mergem mai departe, nivelul problemei este "prea sus".)

Care este descompunerea pentru n = 100 ?

Care este descompunerea pentru n = 101 ?

Se stie ca, pentru numere reale pozitive, produsul ar fi maxim cand ele sunt egale.
Deci daca n=3k, atunci a=b=c=k
Daca n=3k+1, cand ar fi reale solutia ar fi a=b=c=k+1/3. Fiind intregi, ideea ar fi sa le luam cat mai aproapiate posibil de k+1/3, adica a=b=k, c=k+1.
Dar mai trebuie justificat putin ca asta e solutia "optima".
IAr cand n=3k+2, solutia ar fi a=k, b=c=k+1.

O idee ar fi urmatoarea.
In primul rand stabilim o ordine
a<=b<=c.
Daca (a,b,c) este un triplet cu suma n, ne uitam la tripletul
(a+1,b,c-1), care are aceasi suma.
Avem (a+1)b(c-1)=abc+b(c-a-1).
Se vede ca daca c-a>=2, atunci al doilea triplet are produsul mai mare, deci daca solutia optima e (a,b,c) atunci c-a poate fi 0 sau 1.
Deci practic a<=b<=c<=a+1 de unde, analizand cazurile n de forma 3k,3k+1,3k+2 se gasesc solutiile de mai inainte.

Ma intereseaza daca se poate rezolva/explica mai simplu/mai clar.

[Citat] Ma intereseaza daca se poate rezolva/explica mai simplu/mai clar.

Asa e excelent!