[Citat]
Un sportiv a alergat 50 m iar antrenorul l-a cronometrat.
Stiind ca t1 = 0 secunde ( timpul de start),
50 de m i-a parcurs in t2 = 9 secunde
iar 25 de m in t3 = 6 secunde,
calculati:
a) viteza medie;
b) vitezele calculate de la 0 la 25 de m si de la 25 la 50 de m
c) acceleratia medie
d) acceleratia de la 25 la 50 de m. |
Aceasta problema este o problema tipica din fizica in care "ni se da prea putin" si ni se cere "aproape totul".
Nu vorbesc despre faptul ca notatiile sunt iritante, ci despre modul in care se presupune tacit ca sportivul a avut un tip specific de miscare...
Matematic, problema se descrie astfel.
Axa timpului este axa pe care sunt definite toate functiile.
O notam cu Ot si pe ea avem cateva puncte deja (daca notatia nu m-a iritat destul si am inteles cat de cat ceva din ea):
(t1 = 0s)--------------------(t3 = 6s)---------(t2 = 9s)---------------> t creste
(Este desigur o idee destul de interesanta sa plasam t3 intre t1 si t2. Probabil ca nu este asa, de fapt oricum lucrurile pot fi oricum.)
Pe aceast interval de la t1 la t3 este definita matematic, daca facem ordine in lucruri, functia "spatiu"
S : [ 0s, 9s ] -> IR [masurat in metri]
pentru care
S(t)
modeleaza "spatiul parcurs de sportiv de la timpul t1 pana la timpul t".
Ce stim despre aceasta functie s?
Stim doar
S( 0 s ) = 0 m
S( 6 s ) = 25 m
S( 9 s ) = 50 m
Matematic, viteza este derivata dupa timp a lui S.
(Fizicienii au un mod foarte util fizic de a explica la clasa a IX-a ce este derivata pentru o functie eventual nederivabila. Nu intru in amanunte care au fost in defavoarea mea pe clasa a IX-a.)
Dintre multele functii (crescatoare, sportivul nu se intoarce din drum...) care trec prin cele *doar* trei puncte fizicienii stiu mereu care este cea descrisa de catre sportiv, anume cea mai simpla!
(Care alta?!)
Cea mai simpla este desigur functia (nederivabila) care este liniara pe cele doua intervale, pe cel de la t1 la t3 si pe cel de la t3 la t2.
(Am spus deja ca am probleme cu notatiile...)
Cu alte cuvinte (daca modelam asa), sportivul are viteza constanta pe cele doua intrevale. (Si acceleratie nula, daca modelam asa.)
Fizicienii au desigur o pasiune pentru aducerea lui 3 in numitor, daca nu reusesc sa-l aduca pe 7 sau 13 din motive de simplitate a datelor incomplete ale problemei, este si in cazul de fata.
Pe primul interval de la t1 la t3 viteza (presupusa constanta) este de
25 m / 6 s care este de cam 4,1666 m/s .
Pe al doilea interval de la t3 la t2 viteza (presupusa constanta) este de
25 m / 3 s care este de cam 8,333 m/s .
Desigur ca in toate probele de 50 m pe care le-am dat la scoala foarte generala niciodata nu am alergat mai incet la inceput decat la sfarsit, dar asa am interpretat eu problema. Pana cand profesorul de la catedra nu imi explica unde am gresit din punct de vedere fizic, matematic, semantic, sportiv sau umoristic, ma cert cu el la sange. Si lucrul acesta il recomand tuturor elevilor, mai ales celor buni, deoarece pe seama unor astfel de dialoguri si de probleme prost puse pur si simplu se pierde timp util din viata. Invatamantul trebuie sa aibe sens si scoala trebuie sa ii dea unul in ciuda salariilor si timpului / chefului (mediu al) elevilor dedicat invatamantului.
La problema mai departe:
Avem de lucru cu functiile urmatoare:
S(t) = spatiul acoperit de sportiv pe [ 0s, t ]
V(t) = S'(t) derivata lui S *in t*, este ceva punctual, viteza sportivului in t,
A(t) = V'(t) = S''(t) derivata lui V *in t*, derivata secunda a lui S *in t*, este ceva punctual, acceleratia sportivului in t.
(a) Viteza medie este:
Integrala de la t1 la t2 din viteza V
impartita la
lungimea intervalului de la t1 la t2,
care este
Integrala de la t1 la t2 din derivata S' a lui S
impartita la
( t2 - t1 ),
care este
( S(t2) - S(t1) )
impartit la
( t2 - t1 ), si la acest pas folosim teorema fundamentala a calcului diferential si integral.
Dam de
S( 9s ) - S( 0s )
--------------------
9s - 0s
deci de 50 m / 9 s .
Lema lui Marfi legata de necesitatea fractiilor cu numitori in fizica se aplica. Dam cam de 5.555 m/s .
(b) Daca se cer vitezele *medii* se procedeaza ca mai sus, dam de
( S(t3) - S(t1) ) / (t3 -t1) pe primul interval de la t1 la t3 si de
( S(t2) - S(t3) ) / (t2 -t3) pe primul interval de la t3 la t2.
(Nu mai stiu, am pomenit ceva despre notatia ciudata sau despre faptul ca tot timpul avem senzatia ca enuntul vrea altceva de la noi...?!)
(c) Daca afacerea cu viteza medie mai merge, nu depinde de modul in care sportivul isi dozeaza fortele, afacerea cu acceleratia medie este mai complicata.
Dam dupa calapodul de mai sus de acceleratia medie pe [ t1, t2 ] integrand viteza si mediind rezultatul fata de lungimea intervalului. Deci in formule:
( V(t2) - V(t1) ) / (t2-t1) .
Aceasta cantitate poate fi oricat de mare si oricat de mica...
Cel ce propune astfel de probleme trebuie tras la raspuns.
Care este de fapt sursa problemei?
Care este enuntul original *complet* (daca cumva lipseste ceva "marginal" din el)?
(d) La fel.
Nota:
Scriu cele de mai sus asa cum le scriu nu pentru a descalifica fizica, din contra, pentru a arata ca este de datoria fizicii (ca si in matematica) sa stabileasca un cadru *precis* pentru toate datele problemei.
Eu am avut probleme in fizica tot timpul cu partea de ghicit... (Desigur ca daca era exprimentul la mana mea, stiam ce date trebuie sa culeg si ce presupuneri trebuia sa fac pentru "simplificarea lucrurilor", dar nu era asa de multe ori, trebuiau ghicite lucruri de modelare greu de perceput...)
De asemenea este de dorit sa avem in matematica, fizica, chimie, limba româna, ... manuale *libere* cu solutii *complete si competente* , altfel mai urmeaza un secol de nesiguranta (pentru cei putini ce *vor sa invete si invata pe rupte*, pentru celelalte cateva milioane de elevi si asa nu conteaza decat notele (de trecere) - si lucrul acesta trebuie schimbat..).
un fel de integrala, desigur nefacuta la scoala in momentul cu pricina, din
Access general
Conţine mesaje necitite
