Cum rezolv la nivel de a-12-a ecuatia

Adica, cum justific complet ca toate solutiile sunt de forma Asinx+Bcosx, fara a ma folosi de teoria de la ecuatii diferentiale?

Mai exact, cum arat ca daca ptr o solutie f, am f(x_0)=0 si f'(x_0)=0 rezulta ca f(x)=0 peste tot? Ca dupa aceea sa pot arata ca toate solutiile sunt de forma respectiva.

O varianta ar fi urmatoarea: avem functiile f,g astfel ca f+f''=g+g''=0, si intr-un punct, f=g si f'=g'. Aratam ca f=g.

Cele ce urmeaza sunt considerate pe un interval pe care g nu se anuleaza.

Avem (f'g-fg')'=f''g+f'g'-f'g'-fg''=f''g-fg''=-fg+fg=0, deci functia f'g-fg' este constanta. Cum "intr-un punct, f=g si f'=g' ", rezulta ca e constant nula.

Atunci, cum (f/g)'=(f'g-fg')/g^2=0, rezulta ca f/g e constanta, dar "intr-un punct, f=g", deci f=g.