Imi poate explica cineva acest exercitiu?

Acel ZZ modulo 3 este inelul de clase de resturi modulo 3.
In acest inel sunt 3 elemente, 0, 1 si 2 = -1 .

Tabela adunarii este

0 1 2
1 2 0
2 0 1

Explicit:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 0
2 + 0 = 2
2 + 1 = 0
2 + 2 = 1

Tabela inmultirii este:

0 0 0
0 1 2
0 2 1

Explicit:
0 . 0 = 0
0 . 1 = 0
0 . 2 = 0
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
1 . 2 = 2
2 . 0 = 0
2 . 1 = 2
2 . 2 = 1

Pe noi nu ne intereseaza mai departe decat faptul ca sunt trei elemente in inelul ZZ modulo 3. Acum, o matrice 2x2 cu intrari in acest inel este ceva de forma

[ a b ]
[ c d ]

si noi trebuie sa decidem in cate moduri diferite putem lua a, b, c, d in {0,1,2} . Desigur ca in 3^4 = 81 de moduri.

Pentru a doar avem 3 moduri:
0
1
2

Daca este sa luam a, b doar diferite dam de cele 3x3 moduri

00
10
20
01
11
21
02
12
22

(Am copiat de trei ori randul cu 0,1,2 al lui a, apoi am inserat la sfarsit ...)

Thx.Ca sa nu mai deschid alt subiect , te-as ruga sa imi explici si acest
exercitiu :



Rezolvare :





Eu m-am gandit sa fac numarul functiilor adica 2^3 = 8 , intr-adevar daca fac cele 2 diagrame A - > B , obtin 3 functii pentru care este indeplinita conditia de mai sus.

Am inteles si ca este necesar ca doi dintre factori sa fie 2 iar celalalt unul . Ce nu inteleg este ultima parte , cea cu combinari(adica nu inteleg cum de si-a dat seama ca trebuie folosita formula de la combinari si cum a gandit asta)

Suntem intr-un caz tipic de "pata oarba".
Totul este scris, toate argumentele sunt date, ramane doar intrebarea "de ce combinari...?".

Nu stiu cum sa explic, scriu inca cateva propozitii, poate totul devine cu de la sine putere clar.

Exista 2^3 = opt functii de la {1,2,3} la {1,2}, nu ne trebuie, dar sa incepem asa. Cum le putem "enumera"? Fiecare astfel de functie f este determinata daca declaram tripletul:

( f(1), f(2), f(3) ) .

Care sunt posibilitatile pentru acest triplet?
Iata-le:
Cod

( 1, 1, 1 )
( 1, 1, 2 )
( 1, 2, 1 )
( 1, 2, 2 )
( 2, 1, 1 )
( 2, 1, 2 )
( 2, 2, 1 )
( 2, 2, 2 )

Si acum trebuie sa le izolam doar pe cele in care avem de doua ori 2-ul si o data acel 1. Este clar ca ajunge sa declaram cele doua *pozitii* pe care se afla 2-urile (cand avem doua 2-uri).

La ( 1, 2, 2 ) avem pozitiile {2,3}.
La ( 2, 1, 2 ) avem pozitiile {1,3}.
La ( 2, 2, 1 ) avem pozitiile {1,2}.

Pozitiile parcurg toate submultimile cu doua elemente ale lui {1,2,3} .
Le numaram, dam de combinari de 3 (simboluri) luand cate doua din ele.

Mult mai simplu este daca uitam de combinari si ochim pozitia, acea una si singra, pe care se afla 1-ul. Aici este scarpinat sa luam multimea pozitiilor, pur si simplu pozitia lui 1 determina functia. Avem trei sanse sa luam aceasta pozitie.

Acum, dupa ce aceste lucruri sunt intelese, este bine totusi sa gandim combinatoric, structura in care se desfasoara solutia. Si este bine sa ne gandim ca solutia "3 functii" se scrie structural
"combinari de 3 luate cate 2", daca ochim pozitiile 2-urilor, si/sau
"combinari de 3 luate cate 1", daca ochim pozitiile 1-urilor.
(Pentru ca data viitoare nu mai avem probleme...)

mersi!


Imi poti spune cum ai efectuat descompunerea ?

Nu inteleg ultima parte . De unde apare 2 in fata combinarilor si ce reprezinta g(i)=f(m-i+1) , ce este i?

[Citat] Imi poti spune cum ai efectuat descompunerea ?

[Citat] Nu inteleg ultima parte . De unde apare 2 in fata combinarilor si ce reprezinta g(i)=f(m-i+1) , ce este i?

Cred ca problema cere numarul functiilor strict monotone.
De la o multime cu m elemente la o multime cu n elemente.

O fonctie strict monotona este
- fie o functie strict crescatoare,
- fie o functie strict descrescatoare.

In cazul in care m > 1 acest fie este "disjunctiv", nu se poate ca o functie strict crescatoare sa fie si strict descrescatoare.
Pentru m > 1, pentru a gasi toate functiile strict monotone,
trebuie sa le gasim pe toate strict crescatoare, notate tacit cu f mai sus,
apoi pe toate strict descrescatoare, notate tacit cu g.

Numarul "f-urilor" este dat de combinari de n luate câte m.
De ce? (In cuvinte proprii cel mai bine.)

Sunt la fel de multe f-uri ca si g-uri!
Este clar de ce?

Dupa ce vad cum s-au inteles sau nu aceste puncte, clarificam repede si ce vrea acel i. (Care nu poate fi strict notational vazand lucrurile, decat un element generic ce parcurge multimea M, domeniul de definitie al lui g, o solutie pendanta trebuie desigur sa pomeneasca acest lucru.)