Buna ziua
Poate cineva sa imi explice pe scurt ce inseamna paradoxul Petersaburg?
Eu am gasit pe INTERNET niste SITE uri dar mi se par pea complicate.
In definitiv ce inseamna Paradoxul Petersburg?
Multumesc mult

Sa incercam urmatorul scenariu din punctul de vedere al românului care se duce la piata si undeva lânga alba-neagra mai este si un cazinou serios, cel de la masa verde ofera urmatorul joc.

El arunca o moneda, de fiecare data aceasta ajunge la loc pe masa.
Moneda indica fie 0, fie 1 dupa aruncare.
Jocul de noroc este urmatorul:

Omul de rând vine la cazinou si plateste suma X pentru a se putea juca jocul.
Dupa ce o plateste, moneda se arunca pâna apare acel 1 dupa una sau mai multe aruncari.
Atunci jocul se opreste si cazinoul plateste o suma de castig.

Cazinoul plateste anume:

1 RON daca "aruncarile" au fost: 1
2 RON daca aruncarile au fost: 01
4 RON daca aruncarile au fost: 001
8 RON daca aruncarile au fost: 0001
16 RON daca aruncarile au fost: 00001
32 RON daca aruncarile au fost: 000001
64 RON daca aruncarile au fost: 0000001

si asa mai departe.
Teoretic ne putem juca un singur joc un an intreg, cate o aruncare pe minut, cu pauze de somn pentru a se odihni personalul cazinoului, multii gura-casca, programele de televiziune care transmit in direct totul despre inghesuiala, totul despre tot, deja dupa a doua zi, ultimul castig realizat, toaletele celor ce se cearta cel mai tare, parerile celor ce stau la coada pentru a juca si ei, ce mai, deja avem starea de recumparare a lumii... De la o vreme cel ce joaca (in mod teoretic, de asemenea mai departe) deschide propriul cazinou paralel, cumpara statia de televiziune care il filmeaza, toata Rosia Montana si ofera in scoli manuale in limbile româna, germana, maghiara, engleza, franceza, spaniola, italiana, araba, chineza, japoneza, coreana, fiecare elev primeste propriul profesor pentru fiecare limba la alegere, dupa a treia zi, omul restaureaza toate restaurantele de pe litoral, incepe sa isi construiasca un palat in Moldova in locul in care Stefan cel Mare a avut prima aventura de amor, trimite jumatate din bani la SMURD, pentru ca cei ce au subminat sistemul de sanatate incep sa simta nevoia lui, plateste tineri sa scrie din patos poezii de dragoste si ii obliga cu bani pe primarii satelor si oraselor sa mature in fata primariei si sa planteze flori si pomi ... ce mai, suntem chiar (departe de) acasa! Dupa a saptea zi...

Si acum, pentru ca sa vedem care este paradoxul (in modelare mai degraba, nu in matematica) propun sa raspundem la urmatoarele intrebari *reale* (in contrast cu aberatiile de mai sus) "folosind simtul comun":

(1) Mergem in piata si vedem cazinoul. Intram si suntem intrebati: "Cât ai da ca sa joci?" (Care este acel X simtit pe propria piele, care tocmai a muncit cele 10 ore pentru câtiva RONi...)

(2) Intrebam toti colegii, apoi toate colegele cam cât ar da ca sa joace...

(3) Obtinem mai multe raspunsuri. De la ce suma X incolo am fi noi chiar dispusi sa deschidem cazinoul?

Nu mergem mai departe pana ce nu clarificam cele trei intrebari de mai sus.

Buna ziua
Ma bucur nespus ca dumneavoastra sunteti domnul profesor care vreti sa ma ajutati pentru care va multumesc foarte mult.
Acum pentru a arata ce am inteles eu (care este mecanismul acestui joc) voi da un exemplu: presupun ca dupa ce ma consult cu toate cunostiintele mele ajung sa intru la cazino cu suma de X= 30 roni pe care o platesc patronului.
Acum presupun ca dupa aruncarile succesive iese alternativa 0000001(sase zerouri urmate de cifra unu).
Atunci patronul ma anunta ca am castigat suma de 64 roni si pe care mi-i plateste dar de fapt eu am castigat dupa urma acestui joc suma de 64-30=34 roni efectiv.
Este bine?
Ma gandesc ca acest procedeui practic este un sir fara sfarsit pentru ca s-ar putea e drept cu o probabilitate foarte mica sa nu iasa niciodata cifra unu la final.
Nu stiu cum influenteaza valoarea sumei de 30 roni cu care intru eu in joc asupra castigului sau daca are vreo impotanta valoarea sa in evaluarea castigului?
Am inteles bine?multumesc foarte mult

Suma de - sa zicem - 30 RON pe care "suntem dispusi" sa o platim nu joaca nici un rol in solutionare, ci mai mult in intelegerea paradoxului.
In orice caz, exista (poate) o suma care este "pretul pariului". (Fair price...)

Ca sa avem o comparatie, iata cateva jocuri si pretul lor:

(1) Aruncam cu zarul, castigam 1 RON daca apare 1,2,3, pierdem 1 RON altfel.
Pretul pariului este 0 RON.

(2) Aruncam cu zarul, castigam k RON daca apare fata k, k fiind un numar intre 1,2,3,4,5,6.
Pretul pariului este valoarea medie a variabilei aleatoare
X : {1,2,3,4,5,6} -> IR,
X(k) = k .
Care este
1.(1/6) + 2.(1/6) + 3.(1/6) + 4.(1/6) + 5.(1/6) + 6.(1/6)
= (1+2+3+4+5+6)/6
= 21 / 6
= 7/2
= 3,5
(in RONi). Da, valoarea medie, pana aici nu ne sunt inselate asteptarile.
Sa luam ceva mai complicat.

(3) Aruncam moneda cu 0, 1 in loc de cap si pajura, de cinci ori, castigam suma numerelor (0 sau 1) care apar pe parcurs. Care este pretul pe acest joc?

Modelam folosind spatiul cu 2^5 elemente
00000
00001
00010
00011
:::::
11111
in care fiecare element are aceeasi probabilitate, 1/2^5 .

Alternativ putem modela cu
0 cu probabilitatea Combinari( 5, 0 ) / 2^5
1 cu probabilitatea Combinari( 5, 1 ) / 2^5
2 cu probabilitatea Combinari( 5, 2 ) / 2^5
3 cu probabilitatea Combinari( 5, 3 ) / 2^5
4 cu probabilitatea Combinari( 5, 4 ) / 2^5
5 cu probabilitatea Combinari( 5, 5 ) / 2^5

Coeficientii binomiali ce apar sunt 1 5 10 10 5 1
Atunci castigul mediu (probabilistic) la care ne asteptam este
( 0.1 + 1.5 + 2.10 + 3.10 + 4.5 + 5.1 ) / 32
= ( 0 + 5 + 20 + 30 + 20 + 5 ) / 32
= 5/2 .

Formula generala... ne confirma faptul ca putem lua valoarea media pe partile cu 0 si 5, apoi 1 si 4, apoi 2 si 3, ponderata cum trebuie, apoi valoarea medie din valorile medii (care sunt toate egale cu 5/2).

In toate aceste cazuri putem intreba oamenii cam cat ar plati ei (fiecare) pe "pariul" corespunzator, ei ne dau o valoare a pariului pe care o "simt", este acel X pe care l-am cerut. Majoritatea oamenilor care au "mai vazut un pariu" vor fi cu X-ul simtit foarte aproape de rezultatul modelat matematic.

Dar in cazul paradoxului nostru de aici, parerile difera foarte tare.
Propun de aceea...

(A) ...sa facem acest sondaj de opinie.
(B) Apoi propun sa modelam matematic, ne vom certa putin pe modelare, poate. Poate vom avea chiar mai multe modelari.
(C) Dupa care punem pretul in conformitate cu fiecare modelare. Doar la acest punct facem matematica.


In ce ma priveste:
(A) ... eu as juca jocul impotriva unui cazinou in momentul de fata, daca mi s-ar oferi la pretul de 100 RON . Cred ca as merge pana la 400 RON, dar cumva incep sa ma gandesc. In ce ma priveste motivul este simplu. Un scenariu posibil este urmatorul... intru in cazinou, platesc cei 400 RON la intrare, ma pun la masa de joc, cu probabilitatea 1/2 vine deja acel 1, primesc 1 RON si pot sa plec cu el. Bine, poate am noroc din prima, mai aruncam o data banul, cu probabilitatea 1/2 vine acel 1, mi se dau 2 RONi, pot pleca. In ambele cazuri simt ca am pierdut cam 400 RON. Si cam asa o vreme... Daca chiar am supravietuit de cinci ori acest joc, deja indoielnic, inca tremur daca raman la cei 32 RON si pierd... bine, in portmoneu cam tot 400 RON n-am... sau daca ma calific la a ramane cu 64 RON. Asta este in orice caz perspectiva omului care castiga banii prin munca si care isi cumpara cu propria mana cascavalul de 22 de RONi. In orice caz, pentru a face un castig sunt constient de faptul ca trebuie sa se intample ceva de forma
00000000...
hm... mie?! Statistica proprie legata de cel ce se aseaza in autobuz langa mine, daca este un barbat obez care vorbeste la telefon (fara a avea direct nevoie de transmisia prin sateli) sau o femeie de treaba cu care sa intru in discutie... arata deja dupa doua-trei autobuze ca statistica femeilor de treaba impune ca ele sa nu circule cu mijloacele de transport in codru.


Mai sunt oameni care joaca la diverse jocuri de noroc, loterii de exemplu,
probabilitatea de a da de acele numere, sa zicem 5, 23, 27, 33, 34, 39...
Ei ar merge fara probleme pana la 10000 RON poate.
Bine, exista oameni care pun cativa RONi in plus pe asa ceva.
Cati? Depinde de om, multi ar juca ceva de forma "bani de buzunar" (care depind desigur de buzunar), dar exista si cazuri extreme de oameni care joaca...
http://news.sky.com/story/813112/lotto-shock-as-same-numbers-come-up-twice
Aici poate ca acel spirit ratacit va merge pana la 100000 RONi.
Oameni si oameni.


In fine, nu putem separa omul pentru care calculam pretul "fair" al pariului de modul in care modelam pentru el spatiul de probabilitate. (In acest caz paradoxal.)

Buna seara
Multumesc foarte mult.
Vreau sa va mai intreb de fapt ce inseamna paradoxul Petersburg?
Unde este paradoxul?
In "The St.Petersburg lottery or St.Petersburg paradox(1) apelat pe GOOGLE cu acest titlu apare relatia:

Aceasta ar fi valoarea asteptata de jucator si cred ca acest paradox este in legatura cu aceasta relatie dar cum?
Multumesc foarte mult

[Citat] ... Aceasta ar fi valoarea asteptata de jucator si cred ca acest paradox este in legatura cu aceasta relatie dar cum?

Paradoxul este urmatorul, in cuvintele mele, care au o nota voita de subiectivitate.

(A) Daca intrebam un om de pe strada daca vrea sa joace jocul descris mai sus si sa plateasca ceva pentru el, atunci omul de rand NU va spune "Aici e averea mea, da, lasa-ma te rog sa joc."

(B) Exista o modelare matematica "seaca" in care pretul pe joc este infinit. Deci orice om normal care traieste in lumea abstracat in care are loc modelarea va spune: "Ia toata averea mea (finita), da, vreau sa joc, pentru ca sunt (probabilistic) in castig!"

Aceasta modelare are urmatorul spatiu de probabilitate, care trebuie vazut ca un pom pe care nu pot sa il desenez aici. Elementele spatiului sunt:

1
01
001
0001
00001
000001

si asa mai departe, o infinitate de elemente. Ele se obtin daca jucam jocul si la fiecare pas scriem ce arata moneda, 0 sau 1.
Este bine sa notam evenimentele, submultimi ale spatiului (care este numarabil), cumva ca sa fie usor sa le apelam. Eu notez de obicei de exemplu cu 0000* multimea tuturor mersurilor posibile ale jocului care incep cu 0000. (Deci multimea de elemente de forma 0000abc... unde a,b,c,... formeaza un sir finit de multe zerouri si un 1 la sfarsit. Experienta noastra de lucru cu moneda ne spune ca trebuie sa ponderam evenimentele
1* = {1} si
0*
cu aceeasi probabilitate, 1/2.
1* are un singur element, nu mai putem sparge in "atomi". Dar putem la 0*, care este reuniunea lui 01* = {01} (multime cu un singur element) cu 00* . Plasam mai departe probabilitati, pana acum

1* cu probabilitatea 1/2
01* cu probabilitatea 1/4
00* cu probabilitatea 1/4

si asa mai departe.
Vedem ca evenimentele cu un element, pentru elementele de mai sus au probabilitatile:

1* cu probabilitatea 1/2
01* cu probabilitatea 1/4
001* cu probabilitatea 1/8
0001* cu probabilitatea 1/16
00001* cu probabilitatea 1/32
000001* cu probabilitatea 1/64 ...

Acum jucam jocul si castigam (in versiunea mea jumate din)

2$ pe 1* cu probabilitatea 1/2
4$ pe 01* cu probabilitatea 1/4
8$ pe 001* cu probabilitatea 1/8
16$ pe 0001* cu probabilitatea 1/16
32$ pe 00001* cu probabilitatea 1/32
64$ pe 000001* cu probabilitatea 1/64 ...

si asa mai departe. Deci speranta matematica a castigului, valoarea medie a pariului este in aceasta modelare data de formula de mai sus,

(C) Si acum este timpul sa vedem unde modelul nu corespunde realitatii.
De ce ne legam (intai)?

Buna ziua
Am mai gasit un SITE pe INTERNET cu titlul:
"The St.Petersburg Paradox First published Wed Nov 4,1998"
in care se gasesc la inceput niste tabele.
In coloanele 4 si 5 este scris la titlu:
"Utiles" respectiv "Utiles of Prize"(col.4) si "Expected utility "(col.5)
Nu prea stiu ce semnificatie au aceste coloane in problema respectiva a paradoxului.
Eu le-am tradus dar nu vad semnificatia acesor traduceri.
Bineinteles daca aveti timp pentru asta.
Pentru mine prezinta o importanta mare pentru a intelege procesul Paradox.
Multumesc mult.

[Citat] Buna ziua Am mai gasit un SITE pe INTERNET cu titlul: "The St.Petersburg Paradox First published Wed Nov 4,1998" in care se gasesc la inceput niste tabele. In coloanele 4 si 5 este scris la titlu: "Utiles of Prize"(col.4) si respectiv "Expected utility "(col.5) Nu prea stiu ce semnificatie au aceste coloane in problema respectiva a paradoxului. Eu le-am tradus dar nu vad semnificatia acesor traduceri. Bineinteles daca aveti timp pentru asta. Pentru mine prezinta o importanta mare pentru a intelege procesul Paradox. Multumesc mult.

Postati mereu adresa paginii, avem referinta clara atunci.
De exemplu:
http://plato.stanford.edu/entries/paradox-stpetersburg/
(daca aceasta este pagina).

Inainte sa scriu eu ceva legat de tabelul de mai sus, rog a mi se raspunde la intrebarile puse. Orice raspuns este bine venit, orice parere descrisa cu argumente este un castig, un dialog este forma dorita in comunicare.

Ce am scris mai sus legat de cel ce joaca jocul un an, dupa care jocul inca merge mai departe (cu probabilitate mica) nu este o aberatie de moment, am incercat sa pun punctul pe rana. De la o vreme, banii si cresterea lor exponentiala nu mai au o valoare "liniara". Ca sa dau un exemplu, raspundeti va rog la intrebarea urmatoare:

Aveti la dispozitie 1.000.000.000.000 RON.
Ce faceti cu ei (ce nu puteti face cu jumatate din ei)?

De la ce suma de RONi (exprimata ca putere a lui 2) considerati ca "ajunge", am cumparat lumea deja, care intre noi fie vorba... nu este a noastra, ci a urmasilor nostri si a urmasilor nostri si...

Raspunsul la aceasta intrebare este esential pentru a intelege dimensiunea etica a lumii financiare si pentru a avea educatia necesara pentru a intelege ce joc asemanator joaca statul român in zilele noastre. O sa mai scriu aici cateva litere. Banii au un sens si sunt perceputi "liniar" (adica asa cum simtim noi doi acum) doar pentru omul de rand, care isi cumpara paine, covrigi, sana si cateva rosii. La nivel de individ, banul este singurul mod de supravietuire in lumea de fata, declarat ca element de schimb universal de un capitalism global. Teoretic, orice lucru se poate schimba pe (o parte) din orice lucru, prin intermediul echivalentului in bani. (Care se misca si ei.) Acum pentru stat, nu pentru orice stat, pentru cel român de azi insa, dimensiunea banului este una exponentiala, fara nici o problema statul cere de la U.E. sume enorme cu imprumut. De exemplu cateva MILIARDE pentru o autostrada. banii acestia se pot suporta (i.e. cara pe spate, cu spatele drept suport) daca fiecare individ din stat preia o parte,

Buna ziua
Da acesta este SITE ul intr-adevar cu capetele de tabel in cauza.
In legatura cu intrebarea pusa de dumneavoastra practic nu stiu ce sa raspund.
Daca ar fi sa ma iau dupa tabelul din SITE ul citat ar insemna sa ne oprim la nivelul zece adica pentru care suma ultimei coloane este egala cu 5,96875.
Daca continuam peste aceasta valoare cresterea este nesemnificativa si de aceea ne oprim aici.
Adica oprirea se face atunci cand cresterea valorii castigate devine nesemnificativa.
In rest nu stiu sa raspund poate ma ajutati tot dumneavoastra daca nu este bine ce am zis.
Va multumesc foarte mult pentru timpul acordat.

Buna seara
SITEul este cel indicat de duneavoastra.
A mai ramas sa va intreb ce reprezinta in tabelele acestui site coloanele"Utilites" ,"Utilites of prize" si"Expected utility"
Daca as lamuri semnificatia datelor din aceste tabele as lamuri multe lucruri.
Poate reusiti sa ma ajutai multumesc mult

Raspundeti va rog mai intai la urmatoarele intrebari, altfel mi-e greu sa explic:

Aveti la dispozitie 1.000.000.000.000 RON.
Ce faceti cu ei (ce nu puteti face cu jumatate din ei)?

De la ce suma de RONi (exprimata ca putere a lui 2) considerati ca "ajunge" ?