Fie * o lege de compozitie asociativa pe multimea M a.i. exista 2 numere m,n din N* care verfica egalitatea

x^m * y^n = y*x, oricare ar fi x,y din M

unde y*x este y COMPUS cu x nu inmultit ...

Sa se arate ca * este comutativa!

[Citat] Fie * o lege de compozitie asociativa pe multimea M a.i. exista 2 numere m,n din N* care verfica egalitatea x^m * y^n = y*x, oricare ar fi x,y din M unde y*x este y COMPUS cu x nu inmultit ... Sa se arate ca * este comutativa!

Ce este multimea M si ce este ridicarea la putere pe multimea M?
De exemplu, daca M este multimea

M = { Petre, Georghe, Ilie }

si daca luam x = Petre, m = 3, ce este x^m ?
Este cumva x^m = x*x* ... *x unde compunerea se ia de m ori?

Care este enuntul (orginal) complet?
Care este sursa problemei?

Problema am primit-o de la profesorul de matematica, iar sursa imi este, din pacate, necunoscuta.

Enuntul scris:
http://iceimg.com/5Pp4i10V/10719062-741097905971301-1534426472-n.jpg

Multimea M este o multime oarecare, insa pentru a oferi un raspuns, la o problema asemanatoare am luat M ca fiind egal cu R (multimea numerelor reale)

Fiind o lege asociativa, notatia x^m este echivalenta cu x o x o x ... o x (x compus cu x compus cu x ...)

Spuneti-i domnului profesor ca afirmatia din problema e adevarata doar daca ambele numere (m si n) sunt mai mari decat 1. Poate eventual sa caute pe Google informatii despre grupul diedral.

[Citat] Spuneti-i domnului profesor ca afirmatia din problema e adevarata doar daca ambele numere (m si n) sunt mai mari decat 1. Poate eventual sa caute pe Google informatii despre grupul diedral.

Ce inseamna "mai mari decat 1" ?
"Strict mai mari" sau se poate si cu m = n = 1 ?

Bun, daca notatia este multiplicativa, atunci este cât de cât natural sa notam compunerea succesiva ca o putere. (Cu steluta nu este chiar asa...)

Problema se scrie deci asa:

[Citat]

Rog a se folosi LaTeX in astfel de cazuri,
nivelul problemei este mult peste cel al deprinderii tiparitului.
Pe aproape sunt nenumarate exemple de cum se poate folosi specific paginii LaTeX-ul...
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=24&ID=311

In astfel de cazuri, in care un profesor da o problema fara a specifica sursa si nivelul, nu ne gandim ca el nu a (cautat si) gasit singur solutia, anume cea mai simpla dintre toate, ci faptul ca cu siguranta el considera ca se merita sa incercam si noi prin jur.

Sa incercam asadar.
Pentru a ne juca impreuna, sa vedem ce putem face intr-un caz special.

Luam m si n astfel aleator:
(22:39) gp > random(100)
%1 = 22
(22:39) gp > random(100)
%2 = 75
si ne legam de problema foarte speciala:

Pana la urma, fie dam de o contradictie, fie de o solutie...
Nu este asa de important, important este sa incercam sa scriem relatii, cat mai multe, fara nici o greseala. Apoi le sistematizam, intelegem ce inseamna "progresul" si cam unde este "obstructia", daca este vreuna pe drum...

[Citat] Pana la urma, fie dam de o contradictie, fie de o solutie... Nu este asa de important, important este sa incercam sa scriem relatii, cat mai multe, fara nici o greseala.

A zis-o si Heliade Radulescu: ?Scrie?i, b?ie?i, orice, numai scrie?i!?.

Un exemplu bun de "nu chiar orice" este:

[Citat] Spuneti-i domnului profesor ca afirmatia din problema e adevarata doar daca ambele numere (m si n) sunt mai mari decat 1. Poate eventual sa caute pe Google informatii despre grupul diedral.

Ceea ce am scris, am scris doar pentru a-l incuraja pe Johnny221 sa incerce sa faca inca cativa pasi. Asa se invata cel mai usor structurile algebrice. Problema nu prezinta altfel nici un fel de utilitate. (Este chiar una pe care eu nu as da-o, pentru ca nu atinge nici o parte structurala!)

Rectific:

[Citat] afirmatia din problema e adevarata doar daca ambele numere (m si n) sunt mai mari decat 1.

Cred ca e bine sa scriu ceva matematic aici, ca sa fie un exemplu de ceva.

Sa demonstram asadar:

Am luat mai sus puteri mai blânde, 3 si 1 in loc de 22 si 75.
Iata cat de repede se arata:

(1) Cum se generalizeaza cele de mai folosind m arbitrar si n=1 in enuntul initial?

(2) De ce grupul diedru al simetriilor unui poligon regulat cu 3 laturi, D(3), grup de ordin 6 izomorf cu grupul de permutari de trei elemente, NU ESTE un contraexemplu?

Nota:
Dupa ce am vazut cam cum pot merge lucrurile, este bine sa remarcam didactic un lucru... Problema este o problema buna, deoarece ne obliga sa lucram si gandim cu proprietati, cu ceva ce nu se organizeaza foarte usor, solutia este ce-i drept un calcul, dar nu un calcul cu numere, ci un calcul bazat pe o idee de "imbinare". Acest lucru este foarte important si util in matematica (si in dezvoltarea gandirii.) Problema este in acelasi timp o problema proasta, pentru ca nu ne da un exemplu (netrivial) de structura algebrica in care chiar avem proprietatea din enunt. Ne construim noi unul repede, de exemplu M este o submultime a lui IR si xy = max(x,y) . Dar aici xx...xy...yy este intotdeauna xy. Exista vreun exemplu de M pentru m=3, n=1 in care xxx si xx sunt diferite?

Nota: Problema este un foarte bun exemplu de cum sa ponderam o problema din mai multe puncte de vedere. Ca problema de olimpiada este una buna. Ca problema de acumulare de "rutina" in cadrul primelor legi de compozitie este buna. Ca problema de structuri algebrice este o problema proasta, nu vedem nici o structura, nu intelegem deloc mai bine asociativitatea sau vreo proprietate a (semi)grupurilor. Ca problema suport este o problema proasta, nu ne ofera nici un exemplu (trivial sau exotic), nu ne ajuta niciodata (ca un fel de lema sau jalon), este o infundatura, este greu de vazut in ce cadru ne mai poate ajuta acest rezultat sau rezultate de aceeasi culoare.

Multumesc mult pentru raspunsuri!