[Citat]
Vreau sa inteleg modul in care se aplica simbolul Kronecker si pentru aceasta as dori daca se poate sa mi se dea si mie niste exemple in care este aplicat simbolul Kronecker.
|
In primul rand presupun cunoscuta definitia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_symbol
Pagina ne trimite la
http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol,
simbol care trebuie inteles mai intai, simbolul Kronecker ajusteaza lucrurile si in ceea ce il priveste pe 2 (si numere pare).
Si simbolul Jacobi "vine" din ceva mai usor de inteles,
http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol .
Ultimul simbol trebuie inteles mai intai.
Sa zicem ca ne luam un numar prim cu care lucram usor, 101 (in baza zece).
Vrem sa intelegem daca 78 (modulo 101) este un patrat de ceva modulo 101.
sage: legendre_symbol( 78, 101 )
1
Da, este, dam de +1 . De fapt, putem si gasi care numar este cel cu pricina:
sage: R = IntegerModRing( 101 )
sage: for r in R:
....: if r^2 == R(78): print r
....:
49
52
Cum se calculeaza asa ceva?
Fie factorizam, fie folosim din prima reciprocitatea patratica.
Sa factorizam, pentru a ilustra...
78 = 2 . 3 . 13 .
Atunci, deoarece ( . | 101 ) este un "caracter" (este compatibil cu multiplicarea), avem
( 78 | 101 ) = ( 2 | 101 ) ( 3 | 101 ) ( 13 | 101 )
si ne legam de un produs de simboluri cu "partea de sus mai mica".
Pentru ( 2 | 101 ) exista o formula,
http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol#Properties_of_the_Legendre_symbol
avem de lucru cu (-1) la puterea (101^2-1)/8 . Puterea este impara, dam de
( 2 | 101 ) = -1 .
Ne legam de ( 3 | 101 ) .
Folosim reciprocitatea patratica:
http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol#Legendre_symbol_and_quadratic_reciprocity
( 3 | 101 ) ( 101 | 3 ) = (-1) la puterea (jumate din (3-1))(jumate din (101-1))
deoarece (101-1)/2 este par, toata puterea este para.
Deci
( 3 | 101 ) ( 101 | 3 ) = +1 .
Ne-am redus de la calculul lui ( 3 | 101 ) la cel al lui
( 101 | 3 ) = ( 101 modulo 3 | 3 ) = ( -1 | 3 ) .
Aici fie aplicam formule, fie calculam repede resturile patrate modulo trei... Dam de -1.
Verificam:
sage: jacobi_symbol( 3 , 101 )
-1
sage: jacobi_symbol( 101, 3 )
-1
La fel si cu ( 13 | 101 ), reciprocitatea ne da
( 13 | 101 ) ( 101 | 13 ) = (-1) la puterea ... care putere este para, (101-1)/2 este numar par...
Deci ( 13 | 101 ) ( 101 | 13 ) = +1 .
Scriem deci
( 13 | 101 ) = ( 101 | 13 ) = ( 101 modulo 13 | 13 ) = ( 10 | 13 ) si fie calculam cele cateva patrate modulo 13, deci patrate de 1,2,3,4,5,6 (si nu ne mai legam de 7 = -6, ... cu aceleasi patrate), deci de 1, 4, 9, 3, 12, 10, vazand ca 10 e printre ele. Fie descompunem si aplicam din nou reciprocitatea patrata.
Deci, daca stim ce facem, lucrurile sunt relativ simple:
( 13 | 101 ) = ( 101 | 13 ) = ( 101 modulo 13 | 13 ) = ( 10 | 13 ) = 1 .
Puse cap la cap:
( 78 | 101 ) = ( 2 | 101 ) ( 3 | 101 ) ( 13 | 101 ) = (-1) (-1) (+1) = +1 .
Cam asa se fac calculele la nivel de simbol Legendre.
Nota: Mai exista si oameni "anormali" care fac calculele dupa cum urmeaza:
( 78 | 101 ) =
( 78 + 6*101 | 101 ) = ... deformare "anormala" mod 101
( 684 | 101 ) =
( 2^2 . 3^2 . 19 | 101 ) =
( 2 | 101 )^2 . ( 3 | 101 )^2 . ( 19 | 101 ) =
( 19 | 101 ) = ... folosind reciprocitatea patrata si (101-1)/2 par
( 101 | 19 ) =
( 101 mod 19 | 19 ) =
( 6 | 19 ) =
( 2 | 19 ) . ( 3 | 19 ) =
(-1) . ( -( 19 | 3 ) ) =
(-1) . ( -( 19 mod 3 | 3 ) ) =
(-1) . ( -( 1 | 3 ) ) =
(-1) . ( -(+1) ) =
+1 .
Desigur ca "asa ceva nu se face", dar aceste lucruri arata ceva ce trebuie perceput in teoria numerelor.
Aceste calcule "mixeaza" un fel de adunare (este luarea mod ceva) cu inmultirea, cu structrua multiplicativa a simbolurilor ce apar.
In acest mod, la nivel de liceu vedem o prima instanta a unei "conjuratii / conspiratii" a numerelor prime, care stiu unele de altele. Macar pentru scopurile simbolurilor Lagrange, Jacobi, Kronecker...
Daca sunt intrebari, cu incredere, cat mai matematic cu putinta...
Access general
Conţine mesaje necitite
