Sa se determine numerele reale a si b pentru care multimea {x apartine lui R|(a+1)x^2+(2a-b)x+1=0}reunit cu {x apartine lui R|(b-1)x^2+(a+b)x+1=0} are doua elemente.

Stiu sa rezolv cazul in care ecuatiile au aceleasi solutii, deci coeficientii sunt proportionali si obtin a=-4, b=-2, dar nu stiu cum determin a si b in cazul in care o ecuatie are doua solutii iar cealalta nu, sau cele doua ecuatii au o solutie fiecare(ce nu coincid intre ele).

Incercati va rog de la o vreme sa folositi LaTeX, va ajuta oricum (garantat) in viata.
In plus ii scuteste pe cei ce raspund de un prim efort (pentru ca cineva pana la urma va trebui in astfel de cazuri sa tipareasca in LaTeX).

Reformulez, incat sa ma ajute deja cu notatiile la rezolvare.

[Citat]

Pe cazuri e cel mai bine si cel mai sigur.

De aceea, ca de obicei in astfel de cazuri vin in plus intrebarile:

Care este sursa problemei?
Care este nivelul la care a fost propusa?
In ce cadru a aparut? (Examen, pregatire pentru olimpiada, pariu, ...)

Raspundeti va rog la toate intrebarile dupa puteri sau faceti afirmatia scrisa, sa o vedem cu totii de forma "... pai daca stiam ca e asa nici nu mai intrebam, acum ca stiu nu ma mai intereseaza..." sau "... vreau sa inteleg mai departe, mai intai de ce are loc..."

Problema este din manualul nostru de matematica din clasa a IX-a, scris de Mircea Ganga. Este propusa la exercitii dar este, intr-adevar, ultima, deci gradul de dificultate este mai ridicat. Am primit-o ca tema de vacanta.

In legatura cu rezolvarea, nu prea inteleg partea cu cei doi discriminati, nu ar exista o solutie mai la nivel de a IX-a? O schitare a solutiei mi-ar prinde bine.

Problema este ca nu pot analiza cazurile 1 si 2...

[Citat] Problema este ca nu pot analiza cazurile 1 si 2...

Nu ati raspuns la nici un fel de intrebari puse, incat sa vedem ca intr-adevar ati facut ceva pe drumul solutiei. Apoi nu se intelege care cazuri 1 si 2.
Daca nu intelegeti ceva, puneti o intrebare matematica scriind explicit ce nu ati inteles, este altfel greu de ghicit. Veti vedea ca toate neclaritatile sunt legate de citirea exacta a ceea ce e scris, din cand in cand fac si eu greseli (mari) de explicare si de exprimare, dar daca mi se atrage atentia asupra unui punct din multele tiparite (nu scrise cu stiloul), mai uit mai indeaporape la partea jurnalistica corespunzatoare si raspund.

Deci pe rand:
Care este punctul 1?
Ce din punctul 1 nu este clar?
Care sunt raspunsurile la intrebarile pe care le-am pus in primul raspuns? Intrebarile puse sunt usoare, dat fiind nivelul problemei in ansamblu. Daca aveti probleme cu aceste intrebari mai usoare, atunci nivelul problemei nu este potrivit deocamdata, dar problema poate fi atacata daca dati dovada de interes si munca. Asadar, dati dovada! (Si in matematica doar asa se pot face progrese, nu solutionand probleme nenumarate pe jumatate, ci rezolvand cele nerezolvate inca complet.)

Sfaturile le dau cu buna vointa.

[Citat] Problema este din manualul nostru de matematica din clasa a IX-a, scris de Mircea Ganga. Este propusa la exercitii dar este, intr-adevar, ultima, deci gradul de dificultate este mai ridicat. Am primit-o ca tema de vacanta. In legatura cu rezolvarea, nu prea inteleg partea cu cei doi discriminati, nu ar exista o solutie mai la nivel de a IX-a? O schitare a solutiei mi-ar prinde bine.

Domnule Gauss, acesta este raspunsul pe care vi l-am oferit la postarea dvs. Cazurile 1 si 2 se refera la solutia data de npatrat.

[Citat] Domnule Gauss, acesta este raspunsul pe care vi l-am oferit la postarea dvs. Cazurile 1 si 2 se refera la solutia data de npatrat.

Acum e bine si clar, asa cum am banuit, la mine au aparut 1 si 2, cazuri diferite de cazurile I si II din postarea de mai sus, de aceea am intrebat.
Bun, incerc sa arat de ce natura este problema pe / in aceste cazuri.

In trimul rand trebuie sa anticipez ca exista o infinitate de solutii (a,b) ale problemei. Fiind asa de multe, nu putem sa "determinam (a,b)", asa cum vrea enuntul initial
- care dupa parerea mea nu are ce cauta asa intr-un manual, in cel mai rau caz cel ce formuleaza *trebuie* sa scrie "sa se determine multimea tupletelor (a,b) pentru care..." -
tot ceea ce putem este sa descriem care (a,b) sunt bune -satisfac cele cerute- si doar pe cele bune.

Sa luam acum conditiile de la (I):

[Citat]

Aici:

[Citat]

Inainte de a descrie cumva matematic cum stau lucrurile, este bine sa ne pregatim in urmatorul mod -altfel nu pot insera poze aici, decat greu.
Urmatoarele pagini pun la dispozitie o linie de comanda "on-line" unde se poate incerca cod ce calculeaza sau deseneaza pentru noi.

Sa mergem de aici:
http://www.wolframalpha.com/ mai departe la exemple...
http://www.wolframalpha.com/examples/, anume la cele din matematica...
http://www.wolframalpha.com/examples/Math.html si de aici pe...
http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html

dupa care incercam sa plotam regiunea din plan pe care prima functie este
- pozitiva,
- egala cu zero, respectiv
- negativa .

Pentru asta intram pe sub-rubrica de Inecuatii (de la plotare), si introducem in campul de calcul ceva de forma:

plot (2a-b)^2-4(a+1)>0
Se ajunge pe
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(2a-b)^2-4(a%2B1)>0
(aici am incercat sa trisez acel copy+paste de adresa web, dar tot nu se ajunge pe pagina... Rog a se copia manual in campul de navigare...)

Mathematica deseneaza pentru noi.
(Mathematica este un soft pe $ - in alte tari nu costa "mult", relativ la ceea ce castiga o familie pe an, respectiv relativ la valoarea unui studiu care nu se poate cumpara pe $ sau pe lucruri mult mai greu de inteles in aceste tari.)

Tot asa si cu >0 inlocuit prin = 0 si respectiv < 0 .

Masina de calcul on-line ne spune ca avem de-a face cu o parabola.
Incerc sa explic de ce dam de o parabola (in cazul in care luam = 0 ...)

In primul rand, 4(a+1) trebuie sa fie un numar mai mare sau egal cu zero.
(Este egal cu un patrat...)
Asta se intampla pentru a de la -1 inainte. Ceea ce se vede si pe poza.
Pentru a = -1 dam de un singur b bun, trebuie sa se anuleze 2a - b, deci b este 2a = 2(-1) = -2, da, punctul ( -1, -2 ) este pe parabola, nu este varful parabolei, dar este punctul "cel mai la dreapta" in aceasta plotare.

Poate ca ceva mai bine se intelege cum stau lucrurile daca cerem in campul de plotare de pe matematica:
plot [ (2a-b)^2 -4(a+1) = 0 , 2a-b = 0 ]

Plotam parabola si o dreapta paralela cu axa parabolei.
In planul aOb avem mereu (zero unu sau sau) doua puncte pe parabola la egala departare pe verticala de dreapta trasata ( ... sunt doua puncte pentru a > -1) .

Pe parabola avem valoarea zero pentru functia discriminant Delta_1 .
In interior avem o valoare negativa.
Motivul:
Schimbarea de semn are loc pentru o functie *continua* (clasa a XI-a, la noi functia de b, a fiind fixat, altfel trecem la facultate cu continuitatea necesara) doar prin trecere prin valoarea zero.
Apoi este clar ca pe SEMIdreapta 2a - b = 0 , a > -1, avem valori negative ale functiei discriminant Delta_1 : Patratul se anuleaza, -4(a+1) conduce la o valoare negativa.

In exterior o valoare pozitiva.

Asa se explica graficul facut de Mathematica.

Acum trebuie sa facem acelasi lucru si cu celalalt discriminant Delta_2( a, b ) . Trebuie sa intersectam...

Putem sa fim ceva mai ambitiosi si sa introducem cele doua cazuri (I) si (II) intr-unul singur, cerand ca produsul discriminantilor sa fie (strict) negativ:

Plotul cu Mathematica este pentru expresia

( (2a-b)^2-4(a+1) ) * ( (a+b)^2 -4(b-1) ) < 0
Deci in Mathematica de pe pagina:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy>0
ne razgandim si introducem alta plotare in campul oferit:
plot ( (2a-b)^2-4(a+1) ) * ( (a+b)^2 -4(b-1) ) < 0

Dam de o reuniune disjuncta de interioare de parabole.
Pentru a vedea mai bine "gaura" creata, din intersectia lor se pot incerca...

plot ( (2a-b)^2-4(a+1) ) > 0 and ( (a+b)^2 -4(b-1) ) < 0

si cu semnele invers

plot ( (2a-b)^2-4(a+1) ) < 0 and ( (a+b)^2 -4(b-1) ) > 0

incat se vede ca undeva interioarele de parabola sunt "ciobite".
Va rog sa intrebati cat se poate de mult pe marginea celor de mai sus.
(Si de asemenea n-ar fi rau sa vedem si noi cum stau lucrurile in cazurile mai simple.)