Cred ca este mai usor sa dam demonstratia, cu cautatul (si intelesul la ce s-a gasit) este mult mai usor.

In primul rand trebuie sa stim ce este (G:H) ?

Probabil ca ne legam de multimea claselor gH diferite.
H-ul sta pe dreapta, cred ca li se spune clase la dreapta.
Le notam cu G/H = { gH : g in G } .
Numarul lor este (G:H).
Numarul claselor la stanga este acelasi, deoarece luarea inversului duce clase la stanga in clase la dreapta

In cazul cu G finit lucrurile sunt simple daca stim
| G/H | |H| = |G| ,
care este un caz particular al aceluiasi rezultat.

Dintre multele solutii de pe
http://math.stackexchange.com/questions/7002/finite-index-of-subgroup-of-subgroup
cea mai simpla este ce in care consideram aplicatia surjectiva

f : G/H -> G/K ,
f( gH ) = gK .

Ea este bine definita din cauza incluziunii lui H in K.
Ramane sa vedem ca in preimaginea fiecarui element gK din G/K , in "fibra lui gK", avem exact
| K/H |
elemente.

Fibra este { gkH : k in K } .
O incluziune este clara, gkH se duce in gkK = gK .
Cealalta, daca g'H se duce in gK, atunci g'K = gK, deci putem scrie g'= gk pentru un k (unic) cu k in K. Deci g'H = gkH .

Ramane sa identificam fibra { gkH : k in K } bijectiv cu "fibra peste 1",
K/H = { kH : k in K } . Aplicatia de inmultire din stanga cu g,
g. : K/H -> { gkH : k in K }
kH -> gkH
este bine definita (1) si realizeaza bijectia (2).
(1) Daca cumva gkH = gk'H, k, k' din K, atunci gk' = gkh pentru un h din H, deci k' = kh, deci k'H = kH, deci aplicatia g. nu depinde de alegerea reprezentantului, este bine definita.
(2) Tot din cele de mai sus, plecand cu gkH = gk'H, dam de k'H = kH, deci avem injectivitate. Surjectivitatea: ne dam un element din imagine, gkH, si stim deja ca kh se duce in el.

Multumesc!