Am si eu de rezolvat urmatoarea problema de geometrie:
In triunghiul ABC se duce BE bisectoarea unghiului B iar EF este paralel cu BC si EG este paralel cu AB cu G apartinannd laturii BC si F laturii AB.
Sa aratam ca figura geometrica BFEG este romb si exista relatia:

BFEG este un paralelogram in care diagonala BE imparte unghiurile (egale) din B si E in doua unghiuri egale. Toate cele patru jumatati de unghiuri sunt egale.
Triunghiurile
FBE
GBE
sunt deci isoscele, deci laturile paralelogramului sunt egale, dam de un romb.

Relatia ceruta nu este tocmai "simetrica", in sensul ca daca schimbam A cu C intre ele, lasand B pe loc, atunci E ramane pe loc. (Si F,G isi schimba rolurile.)

Care este enuntul exact?
Avem de fapt...

In triunghiul ABC ducem BE bisectoarea unghiului B, E apartine lui AC.

Fie EF paralel cu BC si EG paralel cu AB, unde F apartine lui AB, iar G apartine lui BC.

Sa se arate ca BFEG este romb.


FE||BC si G apartine lui BC, rezulta EF||BG (1)

EG||AB si F apartine lui AB, rezulta EG||FB (2)

Din (1), (2) rezulta BFEG - paralelogram (3)

BE - diagonala in BFEG si BE - bisectoarea unghiului B (4)

Din (3), (4) rezulta BFEG - romb .


Am folosit proprietatea:

Daca intr-un paralelogram o diagonala este bisectoarea unui unghi, atunci paralelogramul este romb.

Multumesc foarte mult