Buna seara
Se considera trapezul ABCD cu baza mare AB=40 cm si baza mica CD=30 cm si diagonalele AC=56 cm si BD=60 cm.Fie O punctul de intersectie al diagonalelor AC si BD.
Sa se determine lungimea segmentelor OC,OD si perimetrul triunghiurilor AOD,AOB,COD si COB.
Multumeesc

Buna!

[Citat] Se considera trapezul ABCD cu baza mare AB = 40 cm si baza mica CD = 30 cm si diagonalele AC = 56 cm si BD = 60 cm. Fie O punctul de intersectie al diagonalelor AC si BD. Sa se determine (i) lungimea segmentelor OC, OD si (ii) perimetrul triunghiurilor AOD, AOB, COD si COB.

(i) Propun sa notam lungimile segmentelor OA, OB, OC, OD cu a, b, c, d .
Atunci folosind lungimile date si asemanarea triunghiurilor
OAB si
OCD
obtinem usor un sistem de patru ecuatii cu patru necunoscute (a, b, c, d)
(de fapt doua sisteme in a, c si respectiv b, d)

a + c = AC
b + d = BD
a : c = b : d = AB : CD

pe care il rezolvam...
Care sunt deci lungimile a, b, c, d?

(ii) O modalitate este urmatoarea:
Fie C', D' proiectiile punctelor C, respectiv D pe AB.
Inventam trei necunoscute care controleaza modul cum "sta stramb" trapezul, anume

h = inaltimea trapezului = distante dintre paralelele AB si CD
h = CC' = DD'
si
x = AD' si y = BC'.

Cautam trei ecuatii.
Cea usoara este AB = x + D'C' + y = x + DC + y
(in ipoteza ca D' si C' cad in interiorul segmentului AB avem x, y > 0 - dar "algebra merge" cu x, y eventual negative si in cazul general).

Incercam sa mai facem rost de doua ecuatii care vin din Pitagora in ACC' si BDD' ...

Care sunt aceste doua ecuatii?
Apoi daca le scadem scapam de necunoscuta h pentru o vreme, putem factoriza, dam de un factor cu x+y+... (cunoscut) si de un factor cu diferenta, facem rost de diferenta, stiind x+y si x-y dam usor de x si y.
Apoi in ADD' si BCC' facem rost si de laturile care ne lipsesc folosind Pitagora din nou.

Care este deci solutia?

Nota: La (ii) putem proceda si astfel:
Luam E pe semidreapta [AB (dincolo de B) astfel incatCDBE sa fie paralelogram.
Deci ducem prin C paralela la DB si luam E punctul ei de intersectie cu AB.

Dam de un triunghi cu laturile de lungimi AC, CE = DB si AE = AB+BE = AB+CD .

Folosim Heron pentru a da de aria lui.
Fata de baza AE putem calcula usor inaltimea corespunzatoare h, care este si inaltimea trapezului de mai sus. Ea este la fel de frumoasa / urâta pe un drum sau altul. Stiind inaltimea h, de fapt h² ne trebuie, stim bine unde se afla C' si D' pe AB din aceleasi doua triunghiuri dreptunghice de mai sus cu varfurile drepte in C' si D'...

Multumesc foarte mult pentru indicatiile date care mi-au fost de un mare folos.