Fie functia

. Ecuatia se scrie

sau echivalent

. Deoarece f este strict crescatoare putem scrie mai departe ecuatia sub forma echivalenta

. Iar aceasta ecuatie cubica se rezolva de exemplu prin descompunere in factori.

Domnule Pitagora,nu inteleg de ce putem pune ecuatia sub forma f(x)=x daca f este crescatoare..

Lema: Daca f este strict crescatoare atunci

.

Demonstratie: Daca f(x)=x atunci evident f(f(x))=f(x)=x

Daca f(f(x))=x distingem cazurile:

I. f(x)<x. Dar f este crescatoare deci f(f(x))<f(x)<x=f(f(x)). Contradictie.

II. f(x)>x. Atunci f(f(x))>f(x)>x=f(f(x)). Contradictie.

In mod necesar ramane singurul caz posibil f(x)=x.

Doar ca divertisment:

O solutie alternativa ar fi:
Ridicam la puterea a 3-a, factorizam folosind o masina de calcul, pari/gp la mine,

(14:40) gp > factor( (x^3+1)^3 - 8*(2*x-1) )
%1 =
[x - 1 1]
[x^2 + x - 1 1]
[x^6 + 2*x^4 + 2*x^3 + 4*x^2 + 2*x + 9 1]

si intelegem de unde si pana unde...
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=50730