Mi-e greu sa raspund la intrebari in mod direct, totul este bine, o sa incerc insa sa raspund la ele in mod indirect, ghicind sau poate neghicind care este intrebarea din spatele lucrurilor.

In geometria diferentiala obiectul central este o "varietate diferentiabila" (de clasa C^k sau C^oo sau analitica..).

A da un astfel de obiect X revine la a da o multime (cu topologie cu tot), o acoperire a ei cu multimi mai mici, fiecare multime mai mica fiind pusa in bijectie cu o bucata din IR^N (cu pastrarea topologiei) astfel incat daca pe intersectii de multimi mai mici vedem care este trecerea de la o parte din IR^N la alta parte din IR^N dam de o functie diferentiabila de clasa care trebuie.

Aplicatiile care duc multimile mai mici din X in parti D din IR^N se numesc carti sau harti. Orice lucru (suficient de) LOCAL de pe X se poate transpune intr-unul pe fiecare harta care "vede acea localitate".

Gradientul este de exemplu un lucru care depinde esential de o harta.
Coordonatele depind de harta.

Foarte mult lucruri depind de o harta.

Insa geometria diferentiala se leaga de izolarea si intelegerea lucrurilor *globale*, a acelor lucruri care nu depind de o harta sau alta. Este greu de dat imediat un exemplu. In cazul meu poate ca cel mai reusit exemplu este

http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem

Integrala pe M se calculeaza folosind o partitie a unitatii a lui M,
functie de integrat se sparge ca suma de functii cu suportul in domenii ale unor harti convenabile, de pe fiecare harta ducem bucata de functie pe un deschis din IR^N unde putem integra. Apoi punem totul la un loc.
Este remarcabil ca daca integram pe o harta sau alta dam de acelasi lucru.
Masura pe M este cumva "globala".

Dar cand scriem teorema putem scrie "integrala globala", fara a scrie ceva urat in harti locale.

Cu toata bunavointa,
ce am gasit pe
http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_Gauss-Bonnet
strica mult din estetica rezultatului, facand din aspectul global al rezultatului doar ceea ce cel ce aplica teorema vede local. Este un exemplu de neintelegere a globalitatii din cauza privirii locale.
(Da, recunosc, pentru a demonstra ceva cel mai simplu este sa trecem la harti sa si facem calcule. Exact asa mi s-a predat geometria diferentiala la facultate, m-am predat si eu din start.)

Acel Nabla se poate vedea ca o aplicatie globala.

Pentru a intelege de unde unde trebuie intai inteleasa notiunea de fibrat vectorial...

Dupa ce am citit despre varietatile diferentiabile (differential manifolds), unele lucruri s-au clarificat, dar au aparut alte intrebari.

Atunci pentru a defini corect o functie (cu valori in IR) este nevoie de:

1. o multime (M) si o metrica asociata ei (sau mai simplu, un spatiu metric)
2. o valoare (din IR) pentru fiecare punct din multime

Daca stiu ca M este o varietate (diferentiabila), atunci stiu ca daca imi aleg orice punct din M, pot sa pun punctele din apropiere (foarte apropiate) intr-un spatiu Euclidean IR^m, iar distantele pe care le "percep" in IR^m sunt foarte apropiate de cele reale (date de metrica din M).

(Am inteles corect termenul de "varietate" (manifold)?)

Cum se poate introduce, in mod izometric, o varietate in IR^n (n ales astfel incat sa "intre" varietatea)?

Raspunsul pe care mi l-am dat pe un exemplu concret:

Fie (M,d) un spatiu metric (o varietate) ale carui puncte (poate mai bine spus metrica) definesc o sfera. Daca "desenez" sfera in IR^3 (cu metrica Euclidiana), distanta dintre doua puncte de pe sfera nu o sa fie calculata "normal" (o linie dreapta), ci lungimea (calculata folosind metrica Euclidiana) drumului cel mai scurt intre cele doua puncte, drum care este obligat sa treaca doar prin puncte de pe sfera.

Lungimea acestui drum poate fi calculata folosind metrica Euclidiana adunand distantele intre punctele foarte apropiate de pe drum (integrala) pentru ca aceste distante sunt foarte "apropiate" de cele reale?

(Asta se intelege prin izometric?)

Multumesc inca o data.

Toate explicatiile sunt corecte? Multumesc.

[Citat] Atunci pentru a defini corect o functie (cu valori in IR) este nevoie de: 1. o multime (M) si o metrica asociata ei (sau mai simplu, un spatiu metric) 2. o valoare (din IR) pentru fiecare punct din multime

Sa facem atunci lucrurile cum trebuie de la inceput.

Categoria in care lucram este cea a fibratilor vectoriali.
Nu este ceva complicat, in cuvinte este asa, peste fiecare harta

f : U -> f(U)

a lui M, unde U este un deschis in M si f(U) un deschis din IR^N, ne gandim ca avem o lipitura de multe spatii vectoriale:
U x IR^k -> f(U) x IR^k .

Care este compatibila cu lipitura de pe U.
Si astfel incat lipiturile de fibre sa fie facute doar cu aplicatii liniare de la fibra lipita la fibra lipita.
Pentru fiecare u din U avem deci un spatiu vectorial si un morfism de spatii vectoriale

{u} x IR^k -> {f(u)} x IR^k

Cel de "peste" u este cel veritabil, cel de "peste" f(u) este ceea ce putem vedea trivializand local.
Tot asa cum U-urile se lipesc intr-un M,
U x IR^k - urile se lipesc si ele (peste / compatibil cu lipitura U-urilor) intr-un E mare.

O "functie" este o aplicatie de la M la E, care duce un u intr-un element din {u} x IR^k (din asa-zisa fibra peste u).

Cu cat putem gandi mai repede in termeni de fibre, cu atat mai bine pentru geometria diferentiala.
(Trebuie sa ne dezlipim cat se poate de repede de multele trivializari f(U) si f(U) x IR^k .)

In orice caz, asta este o "functie", terminologia etablata o numeste "sectiune (globala) a lui M in (fibratul) E"

[Citat] .............................. Cum se poate introduce, in mod izometric, o varietate in IR^n (n ales astfel incat sa "intre" varietatea)? Raspunsul pe care mi l-am dat pe un exemplu concret: Fie (M,d) un spatiu metric (o varietate) ale carui puncte (poate mai bine spus metrica) definesc o sfera. Daca "desenez" sfera in IR^3 (cu metrica Euclidiana), distanta dintre doua puncte de pe sfera nu o sa fie calculata "normal" (o linie dreapta), ci lungimea (calculata folosind metrica Euclidiana) drumului cel mai scurt intre cele doua puncte, drum care este obligat sa treaca doar prin puncte de pe sfera. Lungimea acestui drum poate fi calculata folosind metrica Euclidiana adunand distantele intre punctele foarte apropiate de pe drum (integrala) pentru ca aceste distante sunt foarte "apropiate" de cele reale?

Notiunea de "izometrie" nu este chiar proprie varietatilor diferentiabile.
Pentru ca nu avem ceva de forma unei "norme" la baza lucrurilor. Cand definim un spatiu normat, da, norma e parte din structura, asa putem masura imediat in aceasta structura distantele.
In geometria diferentiala este un drum mai lung pana in momentul in care putem definini ceva ce sa fie "distanta".

De fapt, ceea ce definim candva este o geodezica, o curba care local (macar) face tot ce poate pentru a fi minima.

Pentru a defini asa ceva, trebuie sa stim ce este lungimea unei curbe.

Formula care se generalizeaza (de la local la global), care se lipeste, este urmatoarea:

Desigur ca ne intrebam ce norma luam.

Trebuie sa izolam cumva spatiul normelor, mai bine al normelor hilbertiene, care se pot da pe o fibra.

Dam de matrici pozitiv definite.
Care se lipesc.

Este ceea ce trebuie sa dam.
O "metrica Riemann" care se lipeste cum trebuie.

Elementul gamma'(t) este de fapt un element in fibratul tangent al lui M corespunzator lui t, deci trebuie sa dam o adunatura de astfel de metrici.
Care variaza suficient de bine.
Metrica este deci o sectiune globala in fibratul tangent asociat canonic lui M.

Fixata fiind o metrica Riemann(iana) avem o singura sansa sa masuram distantele dintre punctele de pe M.
Dar distantele nu sunt asa de importante in geometria diferentiala cum sunt operatorii de derivare asociati. Acel Nabla.
Care se lipeste bine peste M. Dam de "conexiuni" (Levi-Civita, hermitiene... depinde de geometria pe care o facem).

Fizicienii sunt foarte interesati de acesti operatori diferentiali.
Ecuatiile Maxwell sunt de exemplu ecuatii diferentiale pentru sectiuni in fibrati 3-dimensionali. (Campul electric si cel magnetic.)
Cei ce vor sa faca fizica nu pot trece peste aceasta intelegere a lucrurilor. Pur si simplu, fizica accepta doar obiecte globale.
De la o vreme fizicienii chiar insista ca pe acea fibra IR^k, spatiu vectorial, sa fie chiar mai multa structura algebrica, de exemplu un fel de inmultire (care se lipeste si ea bine), (algebre Clifford pentru cunoscatori) si deodata facem geometrie diferentiala bogata, partea de geometrie se desfasoara "derivand", partea de algebra folosind operatiile algebrice din fibra.

Operatorului diferential de pe M ii putem asocia un laplacian, pur si simplu doar intelegand acest operator (nemarginit, ca in teoria operatorilor) obtinem informatii asupra lui M. (Geometrie spectrala.)

Faptul ca putem sau nu sa construim anumiti fibrati (de clasa care trebuie) peste M (teoria obstructiei) este un lucru important pentru fizicieni, in principiu, (din punct de vedere matematic putem modela ce vrem,) trebuie sa stim in fizica ce vrem si sa gasim fibratul cel mai simplu care corespunde. (Nu pot face lucrurile mai clare.)


In ceea ce priveste vederea sferei (varietate 2-dimensionala care vine cu scufundare in IR^3) in IR^3 cu "alta metrica" cred ca nu e bine sa o vedem asa.
(Cel tarziu in momentul in care introducem metricile.)

Ceea ce putem face insa e asa.

Plecam cu tot IR^3. Gandit amorf, din punctul de vedere al calatorului prin galaxie, doar un spatiu.
In fiecare punct m din acest spatiu ne gandim ca avem fibra (directiilor in care se poate misca un fizician cu gandul doar, in fine, depinde si de fizician) care este spatiu vectorial, gandit deci ca spatiu in care facem algebra, avem voie sa adunam, scadem, inmultim cu scalari, de exemplu vectorii viteza ai miscarii prin galaxie).

Deci ne imaginam ca suntem in IR^3 x IR^3, prima componenta este spatiul (topologic) M, a doua cea cu algebra, si cu metrica Riemann in fiecare punct. Stim deci sa spunem ce inseamna ca "doua viteze din aceeasi fibra sunt ortogonale una alteia", in fiecare fibra avem alt produs scalar, "ortogonalitatea se lipeste continuu", ...


Acum luam Sfera S, bagata in M.

In fiecare punct s din S avem spatiul tangent ( TS in s ) ca subspatiu vectorial in ( TM in s ) .
Pe ( TM in s ) avem produsul scalar (ce vine din "metrica" Riemann).
O constructie universala din algebra liniara din facultate este de a lua ortocomplementul.
Obtinem spargerea lui ( TM in s ) de forma

( TM in s ) = ( TS in s ) (+) ( Fibratul normal asociat scufundarii lui S in M in s )

Acel plus, (+) , este suma directa.
Este bine sa vedem toata algebra liniara (constructii universale) din facultate ca fiind partea liniara de constructii din geometria diferentiala.

Metrica (produsul scalar) de pe ( TM in s ) induce evident prin restrictie una pe ( TS in s ) .
Este "aceeasi".
Faptul ca pe sfera avem geodezice mai lungi este doar o consecinta a faptului ca ele sunt obligate (ca toate drumurile) sa stea in S.

Multumesc pentru expunerea facuta.