Va rog sa ma ajutati cu indicatii la urmatoarea problema

Cu calculatorul putem sa cerem cateva integrale:
Cod PARI/GP:



for( n=1, 20, print( "I( ", n, " ) ~ ", intnum( x=0,1, (x^n+(1-x)^n)^(1/n) ) ) )


Nici nu tiparim bine linia, dam de:

I( 1 ) ~ 1.000000000000000000000000000
I( 2 ) ~ 0.8116126200701152566970100401
I( 3 ) ~ 0.7766638750285449957313689500
I( 4 ) ~ 0.7646542760677740987326838295
I( 5 ) ~ 0.7592092000658946243854401869
I( 6 ) ~ 0.7563049214656331123114493769
I( 7 ) ~ 0.7545803636601720398836130789
I( 8 ) ~ 0.7534752297077946431400141508
I( 9 ) ~ 0.7527255732512570384236598782
I( 10 ) ~ 0.7521941347946753358720992703
I( 11 ) ~ 0.7518039192175236670335265610
I( 12 ) ~ 0.7515090679104277494226366892
I( 13 ) ~ 0.7512809053682424117653443273
I( 14 ) ~ 0.7511007634705641442136826973
I( 15 ) ~ 0.7509560697314425359011894333
I( 16 ) ~ 0.7508381082107182819147119147
I( 17 ) ~ 0.7507406835871637037778294286
I( 18 ) ~ 0.7506592951300279332867639101
I( 19 ) ~ 0.7505906098427210812408596953
I( 20 ) ~ 0.7505321171364569464280145121


Nu pot decat sa recomand plotarea primelor cateva grafice de asemenea.

Intelegerea lucrurilor merge cel mai bine stiind de enuntul ( - macar enuntul - cel mai bine si de deomnstratia) teoremei lui Lebesgue de convergenta dominata.

V? mul?umesc mult domnule profesor pentru rezolvare. Dac? ave?i timp v? rog s? îmi indica?i bibliografie pentru a aprofunda teorema de convergen?? dominat? a lui Lebesgue. Ce am g?sit doar formuleaz? cazuri generale, f?r? s? insiste pe exemple ?i mai ales pe situa?ii când nu se poate aplica aceast? teorem?. Adic?, dac? pot g?si o abordare mai didactic?. Descrierea dumneavoastr? din postarea http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=21&ID=32316 este deosebit de sugestiv?. V? mul?umesc pentru ajutor ?i pentru sus?inerea necondi?ionat? a celor care v? cer sfatul în rezolvarea problemelor de matematic?.

La nivel de liceu au as incerca sa inteleg urmatorul articol aparut in AMM la inceputul anilor '70 .
https://www.math.washington.edu/~morrow/335_13/dominated.pdf
Functia care domina este aici o functie constanta M.
Cateva randuri istorice:
http://www.scienzainrete.it/italia150/cesare-arzela

Pentru cei ce vor originalul...
http://emeroteca.braidense.it/beic_attacc/sfoglia_articolo.php?IDTestata=927&CodScheda=00AI&IDT=34&IDV=293&IDF=0&IDA=18397 (poate se compileaza ca link...)

http://emeroteca.braidense.it/beic_attacc/sfoglia_articolo.php?IDTestata=927&CodScheda=00AI&IDT=34&IDV=293&IDF=0&IDA=18397
(Sun la serviciu si nu pot verifica link-ul...)

Exercitiile legate de integrala Riemann sau Lebesgue in care putem aplica teoremele de convergenta dominata sunt din punctul de vedere al analizei deja transate, ramane sa calculam mereu o limita punctuala, daca aceasta exista.

La nivel de exercitiu avem asadar lupta cu functiile particulare de sub integrala.

Efortul este insa mai bine investit in "mersul mai departe" cu teoria.
Intre timp exista nenumarate carti sau carticele bune si libere.
La repezeala am gasit:
http://math.ucv.ro/~niculescu/articles/2011/Niculescu_Popovici_AMI2011.pdf care citeaza Luxemburg, AMM 1971 de mai sus,
http://www.math.toronto.edu/lguth/acepabct.pdf care de asemenea...
http://homepages.uconn.edu/~rib02005/rags010213.pdf
http://www.gold-saucer.org/math/lebesgue/lebesgue.pdf
http://zeta.math.utsa.edu/~mqr328/class/real2/L-lim.pdf (cateva pagini, cateva exercitii)
http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/240A-C-03-04/Lecture_Notes/anal2p-new.pdf


(Generatia in care am invatat eu integrala la facultate depindea de cursurile luate de frumoasele si pretioasele colege...)

V? mul?umesc pentru sursele bibliografice. Acum am în?eles mai bine teorema urm?rind cazul particular în care func?ia care domin? este func?ia constant? M sau cazul particular în care func?ia care domin? este chiar limita punctual? a ?irului de func?ii dat.
M-au l?murit ?i mai bine contraexemplele de pe prima pagin? a articolului indicat de dumneavoastr? http://zeta.math.utsa.edu/~mqr328/class/real2/L-lim.pdf
Dup? câte am observat, în exemplele întâlnite în culegerile de admitere, dominarea are loc în toate cazurile. Potem ?s?ri? etapa cu verificarea domin?rii f?r? s? ne facem griji ?

Din pacate nu putem, daca nu are loc dominarea nu putem aplica teorema lui Lebesgue de convergenta dominata.

In conditii de examen este bine
- sa cautam (fara demonstratie riguroasa) o dominare apoi sa aplicam teorema, trecand deci limita dincolo de semnul de integrare.
- sa gasim / calculam limita de sub integrala, daca se poate folosind o minorare / majorare
- sa calculam integrala din limita.

Apoi in conditii de examen NU aplicam teorema de convergenta dominata, deoarece strict vorbind putem fi depunctati usor cand nu stim ce facem.
Mai bine este sa folosim aceeasi minorare / majorare, daca am gasit deja una, pentru a rezolva la nivel de liceu si mult mai simplu problema.
Fiind aproape de barem, avem sanse bune asa sa adunam toate punctele.

Daca chiar nu vedem nici o majorare / minorare, dam solutia folosind teorema de convergenta dominata a lui Lebesgue.
(Si spunem ceva despre continuitatea si/sau integrabilitatea Riemann, deci si Lebesgue a functiilor ce apar.)