Un fel de solutie la nivel de gimnaziu am dat-o mai sus.

La cele trei intrebari puse...

*
3381^2 = 11431161 numar de 2x4 cifre cu de 4+1 ori cifra unu
33381^2 = 1114291161 numar de 2x5 cifre cu de 5+1 ori cifra unu
333381^2 = 111142891161 numar de 2x6 cifre cu de 6+1 ori cifra unu
3333381^2 = 11111428891161 numar de 2x7 cifre cu de 7+1 ori cifra unu
33333381^2 = 1111114288891161 numar de 2x8 cifre cu de 8+1 ori cifra unu
333333381^2 = 111111142888891161 numar de 2x9 cifre cu de 9+1 ori cifra unu

si asa mai departe.
Am propus problema in speranta ca domnul Petre Batranetu se bucura sa vada seria de mai sus. (Demonstratia prin inductie, la inceput se acumuleaza 1-urile, la mijloc 8-urile.)

* 414139^2 = 171511111321
Acesta este numarul patrat perfect de 12 cifre (zecimale) care are de cat se poate de multe ori cifra unu, anume de 6+2 ori.

Este un lucru singular, nu produce nici o "serie" ca mai sus.

* pentru a forta si mai multe 1-uri in patrate perfecte, putem incerca urmatoarea serie de patrate perfecte cu 2n cifre, n > 6 .

Cod pari/gp:

for( k=7,16, n=(10^k-1)/3 - 3333 + 1839; print( n, " ^2 = ", n^2 ); )

Dam de "seria":
3331839 ^2 = 11101151121921
33331839 ^2 = 1111011491121921
333331839 ^2 = 111110114891121921
3333331839 ^2 = 11111101148891121921
33333331839 ^2 = 1111111011488891121921
333333331839 ^2 = 111111110114888891121921
3333333331839 ^2 = 11111111101148888891121921
33333333331839 ^2 = 1111111111011488888891121921
333333333331839 ^2 = 111111111110114888888891121921
3333333333331839 ^2 = 11111111111101148888888891121921

[Citat] Un fel de solutie la nivel de gimnaziu am dat-o mai sus.

Am urmarit cu interes aceasta desfasurare spectaculoasa de rationamente.

I) E bine zis "Un fel de solutie la nivel de gimnaziu". Mai trebuie sa (sur)prindem si ... elevul de gimnaziu.

II) Afirmatia:

"Desigur ca problema propusa este legitima si bine venita la nivel de gimnaziu."

este, evident, stropita cu suficiente mirodenii subtile .

Chiar continuarea afirmatiei citata mai sus este chiar si probatorie (elocventa):

"Apoi am chiar fost curios sa vad de cate ori pot sa chiar vad cifra unu intr-un patrat perfect de multe cifre."


III)Astept, fara nerabdare, solutia promisa (aluziv) de catre autorul problemei.


Va doresc toate cele frumoase !

[Citat] [Citat] Un fel de solutie la nivel de gimnaziu am dat-o mai sus. Am urmarit cu interes aceasta desfasurare spectaculoasa ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Va doresc toate cele frumoase !

Intentia mea nu a fost de a trimite submarine in actiune.
Pe bune, am vrut numai binele.
Pur si simplu nu sunt in stare sa ma exprim normal.

P.S. Toate cele frumoase nu se uita, dar se uita greu.

Consider ca in matematica (si pe acest site, desigur!) nu prea are ce cauta ironia ...sau ca sa ma exprim mai necuviincios... "?TOUL!"
Am citit comentariile de mai sus si simt un gust "puternic si amarui!", dar nu de la o anume bere ...
In fine solutia "prea lunga" la care m-am gandit...repet!!!, CA UN ELEV DE GIMNAZIU, este urmatoarea (o sa scurtez putin!):
Consider cunoscute rezultatele: Nu exista patrate perfecte de forma

..(daca nu stiu, pot arata repede cu formula

.Apoi: restul impartirii unui numar la 4, este egal cu restul impartirii numarului format de ultimele doua cifre ale numarului dat ,la 4.
Avem urmatoarele situatii:
1)Ultimele doua cifre sa fie 1.Numarul este de forma 4k+3
2)Penultima cifra sa fie 1.Ultima trebuie sa fie 0,4,5,6,9.Deci pentru ultimele doua cifre avem posibilitatile :

, avem suma cifrelor 2019),

. Deci nu avem patrate perfecte de aceasta forma

.
3) Daca ultima cifra este 1, atunci avem pentru ultimele doua cifre ale numarului posibilitatile :

. Nu avem patrate perfecte de aceasta forma

.
In concluzie, nu exista patrate perfecte de forma ceruta.
...
Este bine domnule "aurel211"? Va raman indatorat pentru rabdarea de care ati dat dovada...
...
Imi place tare, domnule gauss!!! :
3381^2 = 11431161 numar de 2x4 cifre cu de 4+1 ori cifra unu
33381^2 = 1114291161 numar de 2x5 cifre cu de 5+1 ori cifra unu
333381^2 = 111142891161 numar de 2x6 cifre cu de 6+1 ori cifra unu
3333381^2 = 11111428891161 numar de 2x7 cifre cu de 7+1 ori cifra unu
33333381^2 = 1111114288891161 numar de 2x8 cifre cu de 8+1 ori cifra unu
333333381^2 = 111111142888891161 numar de 2x9 cifre cu de 9+1 ori cifra unu
Va multumesc!
O voi arata elevilor mei!!!

[Citat] ... Este bine domnule "aurel211"?

E bine ca ati venit cu rezolvarea.

Eu ma simt cel indatorat si trebuie sa va multumesc !

Nadajduiesc ca, pe o asemenea zapuseala, veti inlocui gustul amarui al berii,

sus amintite, cu miracolul subtil al unei cesti aurii, in care joaca fermecat,

molatec, indulcit cu miere, ceaiul de ghimbir.