Exista patrate perfecte de 2014 cifre care au 2013 cifre de 1? Justificati.

Daca ultimele doua...
Indicatie

Variatiuni pe aceeasi tema:
EDIT: O noua propunere de probleme... Alta problema desigur, am incercat sa propun o problema cu raspunsul pozitiv, acelasi context, am incercat sa fac rost de cat se poate de multe cifre egale cu unu...

Fie n un numar natural cu n > 3 .

Exista patrate perfecte care se scriu in baza zece cu 2n cifre,
dintre care de cel putin

(n+1)

ori apare cifra UNU ?

Nota: Aceasta problema NU este o problema structurala, este din punct de vedere matematic (macar in ceea ce priveste modul cautarii solutiei) o problema "experimentala".
Deoarece pasim intr-un nou secol, in care din ce in ce mai mult ne putem ajuta de computer (pentru a demonstra ce nu s-a demonstat inca, pentru a ne face rost de exemple in situatii matematice dificile), avem nevoie si de noi probleme (care sa ne dea rutina).

Aceasta este doar o problema de testat indeletnicirile de programare.
Eu recomand (sage, toate rutinele matematice sunt prezente, sau pentru cei ce scriu cu placere rutina de cautat cifre) python pentru rezolvare.

Alte curiozitati pentru cei (ce se duc in directia gresita, dar dezvolta o pasiune pentru un astfel de rebus cu cifre...)

Exista patrate perfecte de 12 cifre (scrise in baza zece) in care de 6+2 ori apare cifra UNU?

Fie n un numar natural cu n > 6 .

Exista patrate perfecte care se scriu in baza zece cu 2n cifre,
dintre care de cel putin

(n+2)

ori apare cifra UNU ?

Raspunsul la cele trei intrebari este in orice caz cunoscut...
http://www.youtube.com/watch?v=3K8yFTKARug

Dar daca penultima sau ultima cifra este diferita de 1? Aici e problema...

[Citat] Dar daca penultima sau ultima cifra este diferita de 1? Aici e problema...

(Dincolo de 2, 3, 7, 8)


Condi?ia necesar? ?i suficient? ca un num?r s? nu fie p?trat perfect
este ca el sa aib? una din formele:

3k+2, 4k+2, 4k+3, 5k+2, 5k+3, 6k+2, 6k+5, 7k+3, 7k+5, 7k+6,

8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6, 8k+7, 9k+2, 9k+3, 9k+5, 9k+6 sau 9k+8

[Citat] [Citat] Dar daca penultima sau ultima cifra este diferita de 1? Aici e problema... (Dincolo de 2, 3, 7, 8) Condi?ia necesar? ?i suficient? ca un num?r s? nu fie p?trat perfect este ca el sa aib? una din formele: 3k+2, 4k+2, 4k+3, 5k+2, 5k+3, 6k+2, 6k+5, 7k+3, 7k+5, 7k+6, 8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6, 8k+7, 9k+2, 9k+3, 9k+5, 9k+6 sau 9k+8

Se pare ca am ascuns prea bine indicatiile...

Atunci cand propun o problema, primul gand este cum o poate rezolva un elev de gimnaziu (cu bagajul de cunostinte matematice acumulate in gimnaziu...). Este cazul si al acestei probleme de joaca cu cifrele... daca vreti. Apoi de cateva cunostinte,cam de clasa a 6-a, a 7-a, un pic de perpicacitate, analiza si nu in ultimul rand de inteligenta...Solutia mea este un pic mai lunga, dar la nivel de elev de gimnaziu...

Imi cer scuze, nimeni nu a vrut sa faca vreun pas in directia solutiei, asa ca am dat un impuls.
Desigur ca problema propusa este legitima si bine venita la nivel de gimnaziu.
Apoi am chiar fost curios sa vad de cate ori pot sa chiar vad cifra unu intr-un patrat perfect de multe cifre.
(Cele trei probleme noi aparute nu mai sunt pentru gimnaziu, este nevoie de munca pentru a le rezolva, am vrut doar sa ii pun in garda pe cei ce se apuca de munca sa nu investeasca mai mult efort decat este nevoie.)

Incerc cu o solutie la nivel de gimnaziu.

[Citat] Exista patrate perfecte de 2014 cifre care au 2013 cifre de 1? Justificati.

Nu exista.
Presupunem prin absurd ca un astfel de patrat perfect N de 2014 cifre cu 2013 aparitii ale cifrei unu exista.
Daca ultimele doua cifre sunt 11 atunci numarul dat este congruent cu 3 modulo 4, nu este patrat perfect.
Presupunem ca ultimele doua cifre nu sunt 11.
Atunci primele 2012 cifre sunt toate egale cu 1, deci N este de forma:

N = 111...111ab

unde a, b sunt doua cifre (una dintre ele este 1).
Atunci numarul 9N este de asemenea un patrat perfect.

Acest numar 9N difera de patratul perfect
1000...00000
prin cel mult 9( 99-11 ) < 1000
si este diferit de el, 1000...00000 nu se divide cu 9,
deci 9N nu poate fi patrat perfect.
(Distanta dintre un patrat perfect k², k natural > 2, si patratele perfecte (k-1)² si (k+1)² este cel putin (2k-1) . )

[Citat] Exista patrate perfecte de 2014 cifre care au 2013 cifre de 1? Justificati.

F?r? sup?rare,dar nu a?i specificat baza de numera?ie.În ce baz? de numera?ie este num?rul care se vrea p?trat perfect?Dac? este vorba de numere în baza de numera?ie 2 atunci se demonstreaz? u?or c? nu exist? p?trate perfecte.Pentru alte baze de numera?ie se poate folosi metoda de trecere de la o baz? de numera?ie la alta...

[Citat] F?r? sup?rare, dar nu a?i specificat baza de numera?ie. În ce baz? de numera?ie este num?rul care se vrea p?trat perfect?

Este *totul* in baza zece.

(Daca avem de lucru cumva cu numere in baza doi, facem la fel cu ultimele 10 cifre, daca ambele sunt egale cu 1, dam de un numar congruent cu 11 modulo 100, care nu poate fi patrat perfect.
Ramane sa ne ocupam de cele 10 numere urmatoare:

111...11110 numar par care nu se divide cu 100,
deci nu poate fi puterea a 10 a unui numar natural,

111...11101 care devine patrat perfect daca adunam 11.)


(Si cand spun *totul* ma refer la tot, nu cumva sa mai ramâna mica portita deschisa... cea cu cele 2014 de cifre, bine-bine, 2014 de cifre, dar 2014 in ce baza este scris? Daca este scris in baza cinci...)

[Citat] ...Solutia mea este un pic mai lunga, dar la nivel de elev de gimnaziu...

Se pare ca e foarte lunga...pentru un elev de gimnaziu, daca nu a aparut, nici un pic ...