Intrebarea mea este legata de simetria unui sistem.Este prima data cand ma intalnesc cu o astfel de idee si am nevoie de niste explicatii cat mai "a la gaga";am observat ca in cazul sistemelor simetrice putem presupune o ordine a necunoscutelor ,pastrat generalitatea problemei; intrebarea mea este cum observam ca un sistem este simetric si cum introducem acea ordine a solutiilor sau orice informatie utila legata de acest subiect!

Ce este mai exact in cele de mai sus un "sistem"?

- un sistem de ecuatii algebrice?
- un sistem de ecuatii folosind functii transcendente in mai multe necunoscute reale sau complexe?
- un sistem mecanic?
- un sistem de ecuatii diferentiale invariate de actiunea unui grup (de transformari din fizica)?

Evident,un sistem de ecuatii algebrice!

[Citat] ...intrebarea mea este cum observam ca un sistem de ecuatii algebrice este simetric si cum introducem acea ordine a solutiilor sau orice informatie utila legata de acest subiect!

Daca necunoscutele din sistemul de ecuatii sunt

x, y, z, ...

atunci sistemul este simetric daca "oricum am schimba intre ele doua necunoscute dam de acelasi sistem".
A schimba "doua lucruri" se numeste transpozitie.
A schimba "mai multe lucruri" se poate obtine schimband de mai multe ori doua lucruri. De aceea este nevoie doar de invarianta sistemului (ca un tot) fata de transpozitii (de necunoscute).

Deci sistemul sta pe loc.
Se poate chiar si mai mult, fiecare ecuatie sta pe loc la fiecare transpozitie.

Dau doua exemple:

(1)
{ x + y = 1
{ y + z = 1
{ z + x = 1

(2)
{ x + y + z = 2
{ x² + y² + z² = 6
{ xyz = -2

In ambele cazuri schimbarea lui x cu y (si invers) conduce la acelasi sistem.
La (1) schimbam ecuatiile intre ele, dam de fapt de
{ y + x = 1
{ x + z = 1
{ z + y = 1

scris mot-a-mot, dar e clar ca este "acelasi sistem".

La (2) sta chiar fiecare ecuatie pe loc.

In rezolvarea unor astfel de sisteme ne putem folosi de simetrie.

La (1):

O idee "totusi stupida" dar posibila este sa presupunem fara a restrange generalitatea ca avem:

x mai mic sau egal cu y
si
y mai mic sau egal cu z

pentru ca daca numerele stau altfel, le permutam intre ele pentru a ajunge la aceasta situatie. Explicit: Daca (x,y,z) este o solutie, atunci toate cele sase tuplete
(x,y,z)
(x,z,y)
(y,x,z)
(y,z,x)
(z,x,y)
(z,y,x)
sunt solutii.
Macar una "vine cu componentele in ordinea lor de pe axa reala".

Am calificat aceasta idee a fi "totusi stupida" pentru ca in aceasta secunda am rupt simetria, ordonând o posibila solutie. (Nu e nevoie).

In orice caz, daca cumva x < y chiar, inegalitate stricta, dam repede de contradictia

1 = x+z < y+z = 1 .

Deci nu se poate... Deci x=y . "La fel" dam si de y=z.
Deci solutia satisface x=y=z si suntem repede gata.
Nu pot sa fiu insa mandru de asa ceva. Din contra. As sterge cat se poate de repede daca nu as ilustra un aspect care apare in intrebarea de mai sus.

O idee "naturala" este de a uita de simetrie si de a rezolva sistemul liniar dat ca pe orice sistem. Eliminam de exemplu x-ul din cele doua ecuatii ce il contin, dam repede de y-z = 1-1 deci de y=z .
Si aici ne putem aminti de simetrie si scrie "prin simetrie" x=y (in sensul ca facem acelasi lucru cu z, eliminam z-ul in loc de x...) deci x=y=z si repede suntem gata.
Sau putem sa ignoram simetria si sa substituim mai departe y cu z si...

O idee "nenaturala pentru sisteme liniare, dar naturala in prezenta simetriei" este de a incerca sa punem in evidenta o ecuatie simetrica in sine fata de x,y,z.
Cum? Adunam cele trei ecuatii (astfel ca nici una nu este mai mult sau mai putin "favorizata") si impartim la acel 2, dam de

x + y + z = 3/2 .

Din care scadem una cate una ecuatiile date...
Solutia foloseste in orice caz simetria, este artificiala si estetica in acelasi timp. Nu se recomanda decat celor ce stiu ce fac.


(2)
Avem un sistem de trei ecuatii simetrice.
(Deci cu atât mai mult sistemul dat este simetric.)

Rezolvarea nu are nici un sens si nu poate fi facuta presupunând ca x,y,z vin in aceasta ordine pe axa. Putem desigur presupune, dar nu putem sa mai facem nici un pas mai departe (folosind efectiv aceasta informatie.)

Solutia merge prin izolarea celor trei polinoame simetrice elementare,
x + y + z
xy + yz + zx
xyz
si folosirea relatiilor lui Vieta.


Rog a se pune intrebari, daca ceva este neclar
sau daca sunt exemple speciale pe care le putem rezolva exemplar.

Va multumesc!,am inteles.

Ideea cu simetria mi-a venit plecand de la acesta problema http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=31375, acest fapt contand decisiv in rezolvarea exercitiului.

Inca o curiozitate mai am, problemele de la bac 2008 si 2009 de care dispune site-ul cu rezolvari impecabile cine le-a rezolvat ?