[Citat] Fie $f:[0.1] \to [1,2]$ o functie continua cu proprietatea $$\int_0^1 f(x) dx = 2$$ Sa se arate ca $$ \int _ 0 ^1 \frac { 1 }{ f(x) } dx = \frac{ 1 }{ 2 } $$ Eu am zis asa: $f(x)\le 2 \implies \int _ 0 ^ 1 f(x) dx \le 2|_ 0 ^ 1 = 2 $, deci trebuie sa avem egalitate peste tot, adica $f(x) = 2, \forall x \in [0,1]$, etc. Este corect? (La sfarsit solutia nu este asa de usoara ca a mea, de aceea m-am gandit ca poate sa nu fie corect! )

Partea subliniata trebuie justificata folosind ipoteza esentiala ca functia este continua.

[Citat]

S? analiz?m posibilitatea ca

.
Se observ? imediat c?

.
Presupunem c?

atunci rezult? c?

?i

?i deci

, adic?

.
Pentru alte func?ii cu

lucrurile se complic?...
Se poate ca

?

Singura functie continua care satisface cele date in ipoteza este functia constanta

2

asa cum s-a vazut bine si din idea de demonstratie prezentata in postarea initiala. Problema este daca idea este corecta / daca argumentarea este completa asa.

(Putem sa ne punem mai departe multe probleme despre functiile de la [0,1] la [1,2], dar mai intai sa rezolvam problema data, cel ce intreaba vrea sa valideze de fapt un punct calitativ in gandire.)

(Putem sa ne legam de functii polinomiale sau de functii obtinute prin compunerea cu functia tangenta, dar in primul rand trebuie sa asiguram faptul ca avem o functie

* de la [ 0, 1 ] *
* la [ 1, 2 ] *

si apoi mai vorbim.)


La nivel de liceu integrala este integrala Riemann.
Care este un caz special de integrala Lebesgue.
(Integrala Lebesgue este definita pentru mai multe functii, pentru functii integrabile Riemann de la un interval [a,b] din IR cu valori in IR integrala Riemann si integrala Lebesgue coincid.)

Demonstratia de mai sus ar fi "numai buna" cu completarea (la nivel de facultate):
<<
Functia nenegativa (2-f) are integrala nula, deci este zero aproape peste tot, fiind continua este zero peste tot.
>>

La nivel de liceu trebuie sa umplem aceasta gropita, trebuie sa scriem ceva de forma:

Presupunem ca f ia si o valoare b < 2, sa zicem ca acest lucru are loc intr-un punct a. Atunci pe un interval (nedegenerat)

J

(la stanga sau dreapta sau centrat fata de a) functia f ia valori mai mici decat b + (2-b)/2 < 2, deci integrala lui f pe tot I = [0,1] este mai mica decat suma:

2 integrat pe I - J
plus
b + (2-b)/2 integrat pe J ,

care este < 2 . Contradictie.

[Citat]

Dac?

, atunci în mod evident

de unde rezult? c?

?i deci

adic?

.
Observa?ie
Aceast? demonstra?ie este valabil? doar dac? problema ar cere s? se g?seasc? func?ia

care îdepline?te simultan condi?iile

?i

.
Cum enun?ul este cel dat de autor , atunci este greu de stabilit ce tipuri de func?ii ar trebui analizate care s? conduc? toate în final la acela?i rezultat ?i anume c?

[Citat] Singura functie continua care satisface cele date in ipoteza este functia constanta 2 asa cum s-a vazut bine si din idea de demonstratie prezentata in postarea initiala. Problema este daca idea este corecta / daca argumentarea este completa asa. (Putem sa ne punem mai departe multe probleme despre functiile de la [0,1] la [1,2], dar mai intai sa rezolvam problema data, cel ce intreaba vrea sa valideze de fapt un punct calitativ in gandire.) (Putem sa ne legam de functii polinomiale sau de functii obtinute prin compunerea cu functia tangenta, dar in primul rand trebuie sa asiguram faptul ca avem o functie * de la [ 0, 1 ] * * la [ 1, 2 ] * si apoi mai vorbim.) La nivel de liceu integrala este integrala Riemann. Care este un caz special de integrala Lebesgue. (Integrala Lebesgue este definita pentru mai multe functii, pentru functii integrabile Riemann de la un interval [a,b] din IR cu valori in IR integrala Riemann si integrala Lebesgue coincid.) Demonstratia de mai sus ar fi "numai buna" cu completarea (la nivel de facultate): << Functia nenegativa (2-f) are integrala nula, deci este zero aproape peste tot, fiind continua este zero peste tot. >> La nivel de liceu trebuie sa umplem aceasta gropita, trebuie sa scriem ceva de forma: Presupunem ca f ia si o valoare b < 2, sa zicem ca acest lucru are loc intr-un punct a. Atunci pe un interval (nedegenerat) J (la stanga sau dreapta sau centrat fata de a) functia f ia valori mai mici decat b + (2-b)/2 < 2, deci integrala lui f pe tot I = [0,1] este mai mica decat suma: 2 integrat pe I - J plus b + (2-b)/2 integrat pe J , care este < 2 . Contradictie.

[Citat] Dac? , atunci în mod evident de unde rezult? c? ?i deci adic? . Observa?ie Aceast? demonstra?ie este valabil? doar dac? problema ar cere s? se g?seasc? func?ia care îdepline?te simultan condi?iile ?i . Cum enun?ul este cel dat de autor , atunci este greu de stabilit ce tipuri de func?ii ar trebui analizate care s? conduc? toate în final la acela?i rezultat ?i anume c?

Doua functii pot avea aceasi integrala fara sa fie egale. Partea in rosu este falsa iar intreaga idee cade.

[Citat] [Citat] Dac? , atunci în mod evident de unde rezult? c? ?i deci adic? . Observa?ie Aceast? demonstra?ie este valabil? doar dac? problema ar cere s? se g?seasc? func?ia care îdepline?te simultan condi?iile ?i . Cum enun?ul este cel dat de autor , atunci este greu de stabilit ce tipuri de func?ii ar trebui analizate care s? conduc? toate în final la acela?i rezultat ?i anume c? Doua functii pot avea aceasi integrala fara sa fie egale. Partea in rosu este falsa iar intreaga idee cade.

Am specificat în observa?ie in ce caz este valabil? demonstra?ia mea,adic? este valabil? în cazul în care enun?ul problemei ar fi altul decât cel dat de autor.

[Citat] [Citat] [Citat] Dac? , atunci în mod evident de unde rezult? c? ?i deci adic? . Observa?ie Aceast? demonstra?ie este valabil? doar dac? problema ar cere s? se g?seasc? func?ia care îdepline?te simultan condi?iile ?i . Cum enun?ul este cel dat de autor , atunci este greu de stabilit ce tipuri de func?ii ar trebui analizate care s? conduc? toate în final la acela?i rezultat ?i anume c? Doua functii pot avea aceasi integrala fara sa fie egale. Partea in rosu este falsa iar intreaga idee cade. Am specificat în observa?ie in ce caz este valabil? demonstra?ia mea,adic? este valabil? în cazul în care enun?ul problemei ar fi altul decât cel dat de autor.

Partea in rosu este falsa pentru enuntul d-voastra. Demonstratia nu merge caci repet:

Daca doua functii au aceasi integrala nu rezulta neaparat ca sunt egale.

[Citat] [Citat] [Citat] [Citat] Dac? , atunci în mod evident de unde rezult? c? ?i deci adic? . Observa?ie Aceast? demonstra?ie este valabil? doar dac? problema ar cere s? se g?seasc? func?ia care îdepline?te simultan condi?iile ?i . Cum enun?ul este cel dat de autor , atunci este greu de stabilit ce tipuri de func?ii ar trebui analizate care s? conduc? toate în final la acela?i rezultat ?i anume c? Doua functii pot avea aceasi integrala fara sa fie egale. Partea in rosu este falsa iar intreaga idee cade. Am specificat în observa?ie in ce caz este valabil? demonstra?ia mea,adic? este valabil? în cazul în care enun?ul problemei ar fi altul decât cel dat de autor. Partea in rosu este falsa pentru enuntul d-voastra. Demonstratia nu merge caci repet: Daca doua functii au aceasi integrala nu rezulta neaparat ca sunt egale.

Nu neg afirma?ia Dvs. "Daca doua functii au aceasi integrala nu rezulta neaparat ca sunt egale." ,dar nu este cazul enun?ului meu........
Mii de scuze,dar tot nu în?eleg ra?ionamentul Dvs.....

[Citat] Nu neg afirma?ia Dvs. "Daca doua functii au aceasi integrala nu rezulta neaparat ca sunt egale." ,dar nu este cazul enun?ului meu........ Mii de scuze,dar tot nu în?eleg ra?ionamentul Dvs.....

Ba este cazul chiar al enuntului d-voastra! Sunteti de acord ca ati scris urmatoarele ?

Enunt TAMREF: S? se g?seasc? func?ia

care îdepline?te simultan condi?iile

?i

.

Solutie TAMREF: în mod evident

de unde rezult? c?

?i deci

adic?

.