ZZ este un grup cu operatia de adunare.
Este un grup comutativ, deci orice subgrup este normal.

Luam subgrupul (normal)
n ZZ
al multiplilor intregi de n.

Avem nevoie de un set de reprezentanti.
Desigur ca luam 0, 1, ... , (n-1)

Pentru un "a" in elementele de mai sus,
putem considera â care este clasa lui a,
multimea tuturor elementelor b din ZZ care sunt echivalente cu a mod nZZ,
i.e. diferenta (b-a) se afla in nZZ.

Deci clasa lui a este
â
= a + nZZ
= { ..., a-2n, a-n, a, a+n, a+2n , ... } .

Sper ca totul e clar acum.

Multumesc! Imi mai puteti da, va rog, un exemplu de grup (cu cel putin 10 elemente, dar nu grup de transformari geometrice, pt. ca sunt mai urate (cred ca tot infinit ar fi mai bine) ), un subgrup al sau (intrebare: Acesta trebuie neaparat sa fie normal la cel initial pentru a exista grupul factor, nu?) si sa explicati si pe acest exemplu cum aflu grupul factor? (Vreau sa inteleg bine acest "fenomen" ca sa il pot aplica asa cum trebuie!)

Din punctul de vedere "a posteriori" a lucrurilor,
a da o pereche

N <| G
(N subgrup normal al grupului G)

este tot una cu a da un "sir exact scurt in categoria grupurilor",
ceva de forma

1 --> N |--> G -->> Q --> 1

unde la fiecare pas (intermediar, in nodurile N, G, Q) avem "exactiate", i.e. nucleul (sagetii ce pleaca din nod) si imaginea (sagetii ce ajunge in nod) coincid.

Deci:
Morfismul N |--> G este injectiv, f.a.r.g. o incluziune care am marcat-o in sageata la un cap. (Trebuie sa cerem ca N sa fie normal in G in plus...)
Morfismul G -->> Q este surjectiv.
Elementele din N, vazute in G sunt exact elementele ce se duc in 1 prin G --> Q .

A da un sir exact scurt este tot una cu a da un morfism surjectiv de grupuri,
G -->> Q .

Ori de cate ori avem un astfel de morfism nucleul este normal.

De aceea, exemplele "naturale" de subgrupuri normale vin din exemplele cunoscute de morfisme de grupuri. Iata cateva.

(1) Fie R un inel comutativ (sau un corp daca inel face probleme la inceput de cautat exemple).

Asociem grupul matricilor inversabile de marime nxn (n fixat in prealabil) peste R,

GL(n,R) .

Aplicatia determinant ne duce in ( R* cu inmultirea ),
unde R* este multimea elementelor inversabile din inelul R.

Nucleul este N = Ker( det ) = SL(n,R), grupul special liniar.
(Format din matrice de determinant unu.)

R poate fi (pentru ceea ce facem la scoala):
corp: IR sau (C sau corp finit
ZZ

(2) Consideram grupul de simetrii ale unui poligon regulat.
Este grupul diedru.
(Grupul de "miscari ale planului care lasa multimea varfurilor {A,B,C,...} pe loc.)
De exemplu in cazul patratului ABCD cu centrul in O avem elementele:
1, r, r², r³,
unde r este rotatia in jurul lui O care duce A in B,
si elementele
s, sr, sr², sr³
unde s este in plus simetria fata de AC sa zicem.

Desigur ca putem scrie cate o matrice de transformare pentru fiecare transformare, dam tot de det. Dar putem mai usor sa ne imaginam ca fiecare transformare schimba orientarea sau nu, dam de un morfism cu valori in { 1, -1 } cu inmultirea. Este un fel de "semn"

(3) Permutarile au si ele un "semn".
Dam de subgrupul altern A(n) in grupul simetric (al permnutarilor multimii {1,2,...,n}) S(n).

(4) Morfismul "modulo N" de la inelul ZZ la inelul ZZ / N ZZ induce o aplicatie

SL( 2, ZZ ) -->> SL( 2, ZZ/N )

[ a b ]
[ c d ]

se duce in

[ a mod N , b mod N ]
[ c mod N , d mod N ]

Subgrupul matricelor ce se duc in

[ 1 mod N , 0 mod N ]
[ 0 mod N , 1 mod N ]

este normal. De fapt putem face "si alte modele", dam de subgrupuri de congruenta, foarte importante in teoria "formlor modulare".

A se citi neaparat http://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_subgroup in jurul locului cu marele matematician Jack Daniels.

Multumesc!