Am urmatoarea problema:

Din teorema lui Weierstrass, f(A) este o multime compacta, dar cum demonstram ca e un interval? Cum ne folosim de convexitatea multimii A?

Este A conexa?

Multimea A este convexa.

Asa ni s-a predat notiunea de convexitate.

Nu cunosc termenul de multime conexa, dar am cautat pe internet acum si am gasit pe math wiki ceva. Daca prin conexitatea unei multimi A din R^n se intelege: dac? oricare dou? puncte din A pot fi unite printr-o linie poligonal? inclus? în A, atunci notiunile de convexitate si conexitate sunt echivalente in R^n, nu?

Multimea data este convexa,
deci este conexa prin arce,
deci este conexa.

O functie continua duce multimi conexe in multimi conexe.

Pe IR o multime este conexa daca si numai daca este un interval (eventual degenerat).

Aceasta ar fi demonstratia care vede din "topologia situatiei" ce trebuie.

A se vedea si
http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function#Continuous_functions_between_topological_spaces


Nota:

Faptul ca o functie continua duce multimi conexe in multimi conexe
este generalizarea faptului ca la nivelul analizei de liceu
o functie continua duce intervale in intervale. Darboux.

Problema se poate rezolva cu doar aceasta informatie.

Ne dam doua puncte din imagine, exista deci x si y in domeniul lui f pentru care cele doua puncte sunt f(x) si f(y). Ne uitam la restrictia lui f pe segmentul de la x la y, care se afla in domeniul lui f. Ne reducem asadar la cazul 1-dimensional...

Am inteles sursa problemei, va multumesc. E usor de tratat problema cu notiunile de topologie prezentate de dumneavoastra; am gasit undeva si demonstratia faptului ca o functie continua duce multimi conexe in multimi conexe, intr-un spatiu topologic oarecare ...

Problema a fost data la un examen de analiza pe R^n, ceea ce mi se pare exagerat, deoarece nu s-a facut topologie, decat in spatii metrice (R si R^n) in anul I; nu s-a pomenit nicaieri de multimi conexe in curs si actiunea functiilor continue asupra lor. S-a definit doar ce e o multime convexa (deoarece aveam nevoie de aceasta notiune in cadrul teoremei de medie pentru functii vectoriale de variabila vectoriala.); asa ca nu stiu ce sanse avea studentul sa rezolve problema, doar cu definitia scrisa mai sus de mine; ca dovada ca nici nu a rezolvat nimeni peoblema...

Si inca o chestie, va rog sa ma lamuriti. Ipoteza de compactitate o folosim pentru a aplica teorema lui weierstrass, nu ? Aplicand faptul ca A este conexa, obtinem faptul ca f(A) este conexa, si f(A) fiind din R, e tocmai un interval; aplicand si faptul ca A este compacta putem aplica si t. Lui weierstrass, deci f(A) este un interval marginit si inchis(un interval compact), cum se cere in concluzie..

E bine.

Pentru usurinta drumului prin topologie este bine sa memoram proprietatile functiilor continue, ale "functiilor care se preteaza la topologie, ale morfismelor din categoria topologica" intr-un mod cat mai pregnant.
Astfel:

O functie continua
- intoarce deschisi in deschisi (definitie)
- intoarce inchisi in inchisi (aproape definitie)
- duce compacti in compacti
- duce multimi conexe in multimi conexe
- duce siruri (generalizate) convergente in siruri (generalizate) convergente

si asa mai departe.

Aceste lucruri au loc in general pe un spatiu topologic.
Fiind "doar pe IR^n", unele lucruri sunt particulare, specifice cadrului.
Pe IR o multime este conexa daca si numai daca este un interval.
Pe IR^n o multime este compacta daca si numai daca este un inchisa si marginita.

Drumul prin topologie si analiza functionala se simplifica daca izolam din punctul in care luam contact cu teoremele "natura" teoremei, daca este topologica sau de analiza functionala sau pur si simplu daca ea traieste doar in IR^n.