[Citat]

(Am pus cateva spatii...)

Ne verificam mereu numeric cand vedem astfel de nebunii.
Calculam numeric integrala, apoi calculam expresia obtinuta numeric.
Pari/gp:


(23:24) gp > intnum( x=1,4, ( exp(x) - 2*sqrt(x) ) / ( sqrt(x) + x*exp(x) ) )
%5 = 0.7780032678417447335928019306
(23:24) gp > 2*log( 2*exp(4)+1 ) - 2*log( exp(1) + 1 ) - 6
%6 = 0.7780032678417447335928019306


Am castigat.

[Citat] [usor schimbat]

Fie K un corp cu proprietatea din enunt.
Deoarece orice element din K este radacina a unui polinom de grad 13 (cel din proprietate inmultit cu (X-0)) corpul este finit.

Structura grupului multiplicativ ( K-{0} , . ) al unui corp finit K este simpla, este un grup ciclic.

http://mathoverflow.net/questions/54735/collecting-proofs-that-finite-multiplicative-subgroups-of-fields-are-cyclic

Acest grup ciclic are ordinul |K|-1 .
Si exista un generator, un element de acest ordin.

Rezulta |K|-1 divide 12 .
Si invers...

Deci |K| este unul din numerele
1+1
2+1
3+1
4+1
6+1
12+1 .

Intamplator, toate aceste numere sunt puteri de UN numar prim (un altul de la caz la caz), deci exista un astfel de corp de fiecare data. Unic pana la un izomorfism (necanonic).

Multumesc!

[Citat] Intamplator, toate aceste numere sunt puteri de UN numar prim (un altul de la caz la caz), deci exista un astfel de corp de fiecare data. Unic pana la un izomorfism (necanonic).

Daca un numar nu ar fi putearea unui numar prim nu ar exista un astfel de corp, sau nu ar fi unic pana la un izomorfism (sau altceva)?

[Citat] Daca un numar nu ar fi putearea unui numar prim nu ar exista un astfel de corp, sau nu ar fi unic pana la un izomorfism (sau altceva)?

Nu exista un corp cu sase elemente din urmatorul motiv.
Sa zicem ca am avea unul, F (de la "field").
In acest corp avem ceva de forma 1+1+1 . Notam acest element cu 3.
In acest corp avem si ceva de forma 1+1 . Notam acest element cu 2.

Din distributivitate dam de
3.2
= (1+1+1)(1+1)
= 1+1+1+1+1+1
= 0 .
(Ordinul lui 1 in ( F, + ), in grupul obtinut din F prin uitare de structura multiplicativa, divide ordinul lui F, care este 6. Lagrange.)

Dar intr-un corp un produs este nul daca si numai daca unul din factori se anuleaza. Deci 2=0 sau 3=0.

Nu duc deocamdata argumentul pana la sfarsit,
dar cam din acest motiv cel mai mic numar natural

p

pentru care intr-un corp finit F dat avem

0 = 1+1+...+1 (de p ori)

este un numar prim, numit caracteristica corpului cu pricina.
(Daca nu plecam cu p, nu e prim il scriem ca p'p'', atunci in F avem fie p'=0, fie p''=0, contradictie cu minimalitatea lui p.)

Pana in acest moment inca nu avem nici un fel de contradictie, se poate sa avem un corp cu 6 elemente in care 1+1=0, corp de caracteristica 2.

Argumentul structural care impiedica asa ceva in general este asa.
Stim ca pentru un corp finit caracteristica este numar prim, p.
Consideram submultimea cu elementele
0,
1,
1+1,
...
1+1+...+1 de (p-1) ori,
care sunt diferite.
Din distributivitate este clar ca ele formeaza un subcorp in F, cu operatiile de pe F, numit subcorpul prim al lui F.
Il notam cu F'. Nu am o idee mai buna.

Acum privim (prin uitare de structura) F ca fiind spatiu vectorial peste F'.
Exista o baza, sa zicem ca are r elemente, deci orice element din F se scrie in mod unic sub forma unei combinatii liniare cu scalari din F' de cele r elemente date.
De aici rezulta imediat ca F are p^r elemente.

Deci orice corp finit are un astfel de numar de elemente, putere de numar prim.
Alte corpuri finite nu exista.



Daca F si L sunt doua corpuri finite cu acelasi numar de elemente,
q = p^r
atunci ele sunt izomorfe.

http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_field#Existence
http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_field#Uniqueness

(... ceva teorie Galois este necesara pentru a intelege structura...)

Multumesc!