Intr-un triunghi dreptunghic este inscris un cerc.Punctul de tangenta imparte ipotenuza in doua segmente de lungimi m si n. Demonstrati ca aria triunghiului este egala cu mn

[Citat] Intr-un triunghi dreptunghic este inscris un cerc. Punctul de tangenta imparte ipotenuza in doua segmente de lungimi m si n. Demonstrati ca aria triunghiului este egala cu mn

Notam cu ABC triunghiul dat.
Unghiul A este cel de 90°.

Cercul inscris este tangent la BC, CA, AB, punctele de tangenta le notam respectiv cu A', B', C'.

Ne sunt date BA' = m si CA' = n. (Sau invers, in fine.)
Desigur ca BA' = BC' si CA' = CB'.
Mai introducem si notatia r pentru AB' = AC' .

Notam cu a,b,c lungimile laturilor triunghiului, astfel ca
a² = b² + c² .

Numerele m, n, r satisfac atunci relatiile:

m + n = a
n + r = b
m + r = c .

Rezolvam acest sistem pentru a da de (relatiile cunoscute)

r = p-a
m = p-b
n = p-c .

In orice caz, ele satisfac aceste relatii si sistemul in m, n, r are solutie unica. Aici p este semiperimetrul, p = (a+b+c)/2.

Ramane sa demonstram ca

mn = bc / 2 . Echivalent
(p-b)(p-c) = bc/2 . Echivalent
(a-b+c)(a+b-c) / 4 = bc / 2 . Echivalent
a² - (b-c)² = 2bc . Echivalent:
a² - b² - c² + 2bc = 2bc . Da, Pitagora.