Sunt parinte si de cateva ceasuri bune ma stradui sa editez in Latex pentru a scrie corespunzator textul a 3 probleme pentru care as avea nevoie de putin ajutor. Daca se poate, va multumesc din suflet!

1. Fie ABCD un paralelogram. Sa se demonstreze ca pentru orice punct O din plan are loc egalitatea

2. Fie ABCD un paralelogram si M, N, P, Q mijloacele laturilor

. Sa se arate ca pentru orice punct O din plan are loc relatia:

.

3. Se considera paralelogramul ABCD si M pe dreapta AB astfel incat

. Dreapta MD intersecteaza BC in N. Sa se determine

.

Cu stima, mii de multumiri!

[Citat] Sunt parinte si de cateva ceasuri bune ma stradui sa editez in Latex pentru a scrie corespunzator textul a 3 probleme pentru care as avea nevoie de putin ajutor. Daca se poate, va multumesc din suflet! .

Cu cea mai mare bucurie,
este un caz deosebit (de fericit) pentru copii cand parintii fac acelasi drum cu aceleasi obstacole.
O sa trec si eu la LaTeX cand este nevoie.

(1)
Fie M centrul paralelogramului.
Acesta este intersectia diagonalelor si se afla exact la jumatate pe fiecare diagonala.

Sa uitam de paralelogram acum, ne gandim ca avem segmentul AC si mijlocul lui M.
Atunci adunarea de vectori
OA + OC
vrea lucrul urmator de la noi.
Construim paralelogramul OAXC, X este noul punct.
Din nou un paralelogram, din nou diagonalele se intretaie la jumatatea lor... deci in M, deci X este de asa natura incat

OX = 2 OM .

Putem sa il folosim pe X mai departe, sau pe M, cum vrem,
deja am gasit "mijlocitorul", partea geometrica comuna intre AC si BD:
Solutia se scrie acum usor, vazand ca (tot cam) acelasi lucru se intampla si cu BD:

OA + OC = OX = OB + OD sau (chestie de gust)
OA + OC = 2 OM = OB + OD .

Solutia din fizica (la alta problem, dar de fapt aceeasi) este cam asa.

Daca punem in A si C cate (o masa de) 1kg este ca si cum am pune in M 2kg.
Daca punem in B si D cate (o masa de) 1kg este ca si cum am pune in M 2kg.
Deci acelasi lucru.

(Trecerea de la vectori la "fizica" nu este chiar usoara, dar eu scriu ceva si cu timpul se intelege jocul.)

Solutia din fizica este cam asa.
Sa punem in M si P cate 2kg.

Acele 2kg din M se poat inlocui cu plasarea simultana a cate 1kg in A si in B.
Acele 2kg din P se poat inlocui cu plasarea simultana a cate 1kg in C si in D.

Deci putem inlocui sistemul de mase (2kg in M si 2kg in P) prin
(1kg in A si 1kg in B si 1kg in C si 1kg in D).

Daca facem acelasi lucru cu (2kg in N si 2kg in Q)
dam de acelasi rezultat!

Cealalta solutie din fizica este asa.
Fie X centrul paralelogramului. Atunci X este mijlocul lui MP si mijlocul lui NQ!

Atunci:
(2kg in M si 2kg in P) e tot una cu (4kg in X).
(2kg in N si 2kg in Q) e tot una cu (4kg in X).
Gata...

Solutia fara vectori foloseste asemanarea:

NC : NB = ND : NM deoarece CD || BM .
MA : MB = MD : MN deoarece AD || BN .

Adunam, pe partea dreapta dam de 1...



Daca sunt intrebari, cu incredere!

Ce-as putea sa mai spun, domn' profesor?! decat sa va multumesc enorm!
Copila are testare maine, iar modul in care ati explicat dvs a ajutat-o mult. Mi-ati luat o piatra de pe suflet!
(ar mai fi una, mai mica ce-i drept, dar deja nu mai indraznesc, e prea mult...)
Multumesc, multumesc..!!!
Seara frumoasa si numai succese!

[Citat] ar mai fi una, mai mica ce-i drept, dar deja nu mai indraznesc, e prea mult...

Indrazniti! Nu este nicio problema! Practic, nu apelati direct la dl. Gauss; apleati la toti vizitatorii site-ului!