Buna ziua
Fie

Aratati ca (Ln f)(x; 0,1,..,n) este trunchierea (suma partiala) a seriei binomiale a lui f la n+1 termeni

[Citat] Buna ziua Fie f(x) = (1+a); |a| < 1; Aratati ca (Ln f)(x; 0,1,..,n) este trunchierea (suma partiala) a seriei binomiale a lui f la n+1 termeni

Buna,
din pacate functia f, asa cum este definita, este o functie constanta.
Apoi acel L vine din senin.

Care este enuntul deci?
La ce revine el pentru n=0, n=1, n=2 (cazuri particulare) ?
(...ca sa ne dam seama de ce este vorba...)

Imi cer scuze pentru postarea enuntului in acest fel , dar nu ma pricep sa scriu "matematic" pe forum. n-ul este indice pentru L. Ln(f;x) reprezinta polinomul de interpolare de grad <= n corespunzator functiei f(x) = (1+a), unde |a| < 1;
Problema are un hint, in sensul ca se sugereaza utilizarea formulei Newton a polinomului de interpolare.

[Citat] f(x) = (1+a), unde |a| < 1;

Inca nu este clar din pacate, avem o functie de x pe partea stanga, dar pe dreapta nu se vede decat un a.

Asa este. Am omis x-ul. Functia este : f(x) = (1+a)^x

Bun, sa incercam impreuna.
La ce revine enuntul pentru fiecare din urmatoarele cazuri?

n=0 ... Cine este (Lf)( x; 0 ) ?
n=1 ... Cine este (Lf)( x; 0,1 ) ?
n=2 ... Cine este (Lf)( x; 0,1,2 ) ?

Stiu ca polinomul de interpolare corespunzator unei functii f si nodurilor x0 si x1 este :

(L1f)(x) = [(x-x1)/(x0-x1)] * f(x0) + [(x-x0)/(x1-x0)] * f(x1) ce reprezinta dreapta ce trece prin punctele (x0, f(x0)) si (x1, f(x1)).


Polinomul de interpolare corespunzator unei functii f si nodurilor x0, x1 si x2 este :

(L2f)(x) = [(x-x1)(x-x2)]/[(x0-x1)(x0-x2)] * f(x0) + [(x-x0)(x-x2)]/[(x1-x0)(x1-x2)]*f(x1) + [(x-x0)(x-x1)]/[(x2-x0)(x2-x1)] * f(x2) ce reprezinta parabola ce trece prin punctele (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2))


Imi cer scuze pentru scriere.

Nu trecem mai departe pana nu gasim "impreuna" expresiile explicite pentru

[Citat] n=0 ... Cine este (Lf)( x; 0 ) ? n=1 ... Cine este (Lf)( x; 0,1 ) ? n=2 ... Cine este (Lf)( x; 0,1,2 ) ?

si pentru functia *data* f.
(Nu pentru o functie generala.)
Ce devin formulele de mai sus pentru f-ul dat?
Daca inlocuim si calculam ce obtinem?

Lucrul acesta trebuie facut, altfel totul este degeaba.
Este contrastul prea mare intre ceea ce (trebuie sa) demonstram si calculul in cateva cazuri particulare simple.

Daca calculele particulare nu sunt clare, atunci toata interpolarea poate fi uitata. Matematica trebuie facuta pas cu pas, asta nu inseamna ca o facem cu viteza constanta. Uneori primele zece pagini dintr-o carte iau tot atata timp de digerare cat urmatoarele o suta...

Daca exemplele particulare nu le putem face "impreuna", atunci ne putem opri. Pur si simplu. Orice intrebare (matematica) va primi un raspuns sincer si la obiect, pana cand clarificam...

N.B. Problema, asa cum este pusa, nu este in forma ireprosabila.
In formula pentru f apar doua litere, a si x, trebuie sa stim dupa care dezvoltam, dar vom clarifica imediat cand avem Lf-urile.

N.B.2. Notatia pe care as folosi-o eu este cea cu
(Lf)( x; cele (n+1) puncte in care f si Lf trebuie sa coincida ) .
Nu are sens, decat redundata, sa punem langa L indicele n, exceptand cazul in care suprimam celelalte (n+1) puncte .
In fine, este didactic sa punem acel n, daca vrem sa accentuam faptul ca Lf este o functie polinomiala de grad n.

N.B.3. Problema se va rezolva nu prin calcul, ci folosind (existenta si) unicitatea lui Lf.
Care este aceasta proprietate explicit?
Cum se verifica aceasta proprietate pe cazurile
(Lf)( x; 0 )
(Lf)( x; 0,1 )
(Lf)( x; 0,1,2 )
?
Ce grad are de fiecare data polinomul in cauza si ce valori trebuie sa prescriem si/sau atingem?

Polinomul de interpolare Lagrange e o combinatie liniare de polinoame Lagrange de baza.

Avem asadar functia : f(x) = (1+a)^x, unde |a| < 1;
Avem punctele: x0=0; x1=1; x2=2;
Calculam f(x) pentru aceste functii :

f(x0) = (1+a)^0 = 1;
f(x1) = (1+a)^1 = 1+a;
f(x2) = (1+a)^2 = a^2 + 2a + 1;

Polinoamele de baza sunt :
(Lf)(x;0) = (x-x1)/(x0-x1) * (x-x2)/(x0-x2) = (x-1)/(0-1) * (x-2)/(0-2) = (1/2) * (x^2 - 3x + 2);

Pentru celelalte 2 polinoame am sa calculez mai direct :

(Lf)(x;1) = -x(x-2) = -x^2 + 2x;
(Lf)(x;2) = [x(x-1)]/2 = (x^2 - x) / 2;

Polinomul de interpolare este :
(Lf)(x;0,1,2) = [1 * (1/2) * (x^2 - 3x + 2)] + [(1+a) * (-x^2 + 2x)] + [(a^2 + 2a + 1) * (x^2 - x) / 2]

Dupa o serie mai lunga de calcule, am ajuns la urmatorul rezultat :

(Lf)(x;0,1,2) = (1/2) * (x^2 * a^2 - x*a^2 + 2xa + 2)

Din nou, imi cer scuze pentru aceasta scriere. Sper sa intelegeti.

Mai fac inca o singura incercare, poate facem un pas esential impreuna, dupa aceea dau solutia.

Eu practic mai sus am calculat L2f.

Pentru L1f, pe baza aceluiasi model avem :

L1f = f(x0) * (x - x1)/(x0 - x1) + f(x1) * (x - x0)/(x1 - x0) = 1 * (-x + 1) + (1+a) * x = -x + 1 + x + xa = xa + 1

Deci L1f = xa+1, un polinom de gradul I.


Pentru L0f nu stiu cum se calculeaza exact polinoamele de baza, deoarece avem doar un singur punct. Banuiesc ca rezultatul final este 0.


De asemena, nu imi dau seama cum sa scriu expresiile de mai sus, sa semene cu parti din seria respectiva.