[Citat]
Catetele unui triunghi dreptunghic sint de 6cm si 8cm.Sa se determine distanta de la centrul cercului inscris in triunghi la centrul cercului circumscris triunghiului. |
Poza arata cam asa:
si imi cer scuze daca nu se intelege nimic.
In orice caz, mai intai au venit pe lume A,B,C, astfel incat
AB = 6
AC = 8
BC = 10 (Pitagora)
Las aici si mai departe unitatea de masura [cm] la o parte.
Centrul cercului inscris l-am notat cu I, este undeva in mijloc.
Ducem perpendicularele pe laturi. Dam de proiectiile lui I pe ele,
A' pe BC
B' pe AC,
C' pe AB.
Stim ca trebuie sa dam de segmente respectiv de aceeasi lungime,
AC' = AB' = x,
BC' = BA' = y,
CA' = CB' = z.
Fie stim formula pentru ele, fie rezolvam sistemul
AC' + BC' = x + y = AB = 6, pe scurt x+y = 6 si analoagele,
x + y = 6
x + z = 8
y + z = 10
Obtinem (din formula sau din rezolvare)
x = p-a = 12 - 10 = 2
y = p-b = 12 - 8 = 4
z = p-c = 12 - 6 = 6
(Aici p este semiperimetrul, p = (6+8+10) / 2 = 12.)
Desigur ca AB'IC' este un patrat, avand unghiurile de 90° si IB' = IC' = r, raza cercului inscris, deci stim car este r,
r = 2 .
Centrul cercului circumscris, O, se afla la mijlocul ipotenuzei, deci OB = OC = 10/2 = 5. Punctul A' se afla deci la distanta 5-4 = 1 de O .
Ramane sa ne uitam la triunghiul
I A' O
care este dreptunghic cu catetele IA' = r = 2 si A'O = 1.
Pitagora:
IO² = IA'² + A'O² = 2² + 1² .
Acelasi lucru il obtinem, daca folosim formula lui Euler:
http://www.cut-the-knot.org/triangle/EulerIO.shtml , Formula (1).
IO
² = 5² - 2.5.2 .
(Mai sus este o mica greseala de tipar, trebuie sa dam de "homogenitate in formula", desigur, totul treubuie sa fie masurat in [cm²] daca suntem fizicieni).
Access general
Conţine mesaje necitite
