[Citat]
[Citat]
O intrebare pentru Tamref :
Cat fac arcsin2 ?
...altfel spus: cat este arcul al carui sinus aste 2?
Astept raspunsul cu sufletul la gura... |
Este mai complicat si se calculeaza cu serii Taylor în mul?imea numerelor complexe...
R?spuns:
unde
. |
Oameni buni, eu sunt un simplu muritor de rand, in ultimele zile mi-am epuizat plamânii incercand sa fac macar aici clara parerea mea despre cum trebuie sa vina o problema de matematica, daca are sens sa ne apucam de ea si daca da la ce ne ajuta. Mi-am facut dusmani buni si a trebuit inca sa dau detalii de ce.
De data asta ar trebui sa trec la nivelul superior de suparare si de sapunire.
Dar limba româna nu are cuvinte si mai dure decât cele pe care le-am folosit.
Incer sa pun lucrurile cumva pe ecran totusi.
Mai inati partea "sobra" a lucrurilor.
Intram pe
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions
si citim pana la capat. (Am cautat un link cat de cat accesibil in prezentare.)
Oamenii incep pasnic cu probleme de notatie. Ne spun si ceva etimologic,
Thus, in the unit circle, "the arc whose cosine is x" is the same as "the angle whose cosine is x"
pentru ca sa intelege de ce este normal sa scriem arcsin si sa gândim "arcul ar carui sinus..." Primul mic soc pe care il are un elev de liceu despre pagina asta wiki vine la tabelul
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Principal_values
in care una din coloane are titlul
Domain of x for real result . Putin inainte a fost clar, sin : IR -> [-1,1] nu este o functie injectiva, deci nu este bijectiva, deci daca vrem sa inversam ceva trebuie sa "ne restrangem". Aici intervine conventia umana de alegere a ramurii principale, pentru sin-ul de mai sus probabil ca majoritatea oamenilor aleg la fel o astfel de ramura.
Dar ce vrea cel ce a editat atunci de la noi cu acel
Domain of x for real result ? Uitam si citim mai departe.
Totul se citeste usor pana dam de :
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Extension_to_complex_plane
si de aici trebuie sa stim bine analiza complexa de la facultate, anume functii analitice (multivaluate). Nu pot sa fac aici totul pana la facultate, dar ca sa ne intelegem la nivel de liceu usor propun urmatoarele ``definitii''.
Presupunem ca stim sa definim la nivel de liceu functiile sin, cos, exp de la IR la IR . (De fapt nu le stim (cum trebuie).) Extindem aceste functii ca functii de la C la C, C = multimea numerelor complexe, folosind
Sa acceptam cele de mai sus si gata.
La liceu am facut nenumarate grafice de functii si "vedem" exact ce se intampla cu sin pe graficul lui. Este insa un mic exercitiu de acomodare la viata daca vrem de exemplu (sa ne imaginam) graficul lui sin pe bucata din C care este un dreptunghi, (x,y) ~ x+iy se plimba cu x in [0,2pi] si y in [-10,10]. In primul rand ne lipseste o dimensiune in imaginatie, dar putem sa cerem plotarile pentru partea reala si cea imaginara... In fine.
In orice caz, daca suntem pe C, nu restrictionam niciodata functia analitica sin "la ceva" ca sa dam de o functie bijectiva, pur si simplu ne gandim ca avem o functie multivaluata. In real, in mica bucata de "numere reale" pe care o stim deja, ne putem gandi ca
arcsin( 0 ) = multimea
cu elementele ..., -2pi, -pi, 0, pi, 2pi, ...
arcsin( 0 si putin ) = mutlimea
cu elementele ... , -2pi + ceva, -pi-ceva, 0+ceva, pi-ceva, 2pi+ceva ...
= ( ceva + 2pi ZZ ) U ( (pi-ceva) + 2pi ZZ ) .
Daca cineva scrie arcsin 2 si noi trebuie sa ghicim despre ce este vorba, nu avem decat sansa sa ghicim cautarea tuturor valorilor in care functia "sinus extinsa", notata (prin abuz, dar comoditate pentru unii, prin comoditate, dar abuz pentru altii) tot cu sin,
sin : C -> C
deci in care acest sin ia valoarea 2 din domeniul C de valori.
Trec la matematica.
Pentru a nu se crede ca am facut ceva deosebit, sa luam de exemplu pari/gp si sa cerem...
? asin( 2 )
%1 = 1.5707963267948966192313216916397514421 - 1.3169578969248167086250463473079684440*I
? Pi/2
%2 = 1.5707963267948966192313216916397514421
? log( 2-sqrt(3) )
%3 = -1.3169578969248167086250463473079684440
? log( 2+sqrt(3) )
%4 = 1.3169578969248167086250463473079684440
? \\ desigur
? sin( Pi/2 + I*log(2-sqrt(3)) )
%5 = 2.0000000000000000000000000000000000000 + 0.E-38*I
? sin( Pi/2 - I*log(2-sqrt(3)) )
%6 = 2.0000000000000000000000000000000000000 + 0.E-38*I
Deci pari/gp stie de asin(2) si ne da valoarea... pe care ne-o da, nu poate sa ne spuna nimic de multivaluare sau de "cealalta valoare". Probabil ca stie ca noi stim deja ca sin "comuta cu conjugarea complexa". (Dezvoltarea in serie Taylor are doar coeficienti reali.) Deci daca in z functia ia valoarea 2=2+0i, atunci in
_
z ia valoarea... 2-0i care este tot 2.
Si acum sa citim din nou problema urmatoare care apare la rubrica [Cereri de probleme]
[Citat]
[Citat]
O intrebare pentru Tamref :
Cat fac arcsin2 ?
...altfel spus: cat este arcul al carui sinus aste 2?
Astept raspunsul cu sufletul la gura... |
Este mai complicat si se calculeaza cu serii Taylor în mul?imea numerelor complexe...
R?spuns:
unde
. |
Nu suntem insa la rubrica "probleme propuse", la care regula jocului este de a sari pe cel ce pune enuntul in joc pana cand enuntul este clar, ci "cereri de probleme", cel ce raspunde are parte de munca de a explica ce este arcsin( 2 )...
Mare mi-a fost uimirea sa vad ca arcsin(2) este o treaba "clara".
Atunci unde mai este problema de fapt?
Acum problema vine la rubrica cereri de probleme, sa acceptam.
Oameni buni pun trei semne de intrebare in dreptul lui arcsin(2).
Asta in mod clar, ca si cand am spune, <<...tigrii albi?! nu exista!>>
|| Ba daaa, desigur ca exista, pe unde am fost eu erau in gradina zoologica si cascau la copiii de gradinita. ||
Se isca o discutie fara sfarsit, centrul discutiei nu este problema pusa in joc, ci acel arcsin(2) mereu. Si acum inca o data. Ori de cate ori avem o problema *de rezolvat* in fata trebuie sa fie din start clare:
- enuntul
- nivelul
- forma de prezentare care nu lezeaza bunul simt
- sensul problemei, tâlcul ei, de ce ne apucam de asa ceva de fapt?
- morala, ce invatam din ea.
- daca se poate, partea estetica, de compozitie, trebuie sa fie (frumoasa si) de asa natura incat sa nu uitam experienta facuta.
La toate aceste puncte problema propusa (de fapt) pica la examen.
Si acum incerc sa folosesc adjective ofensive.
- Enuntul este strigator la cer, acel arcsin 2 intotdeauna va imparti cititorii in doua tabere, tabara cu majoritatea va tabarî pe cel ce propune asa ceva, pentru cei ce pot banui despre ce este vorba, cei din cealalta tabara, se creaza deja impresia unei ghicitori.
- Nivelul lipseste cu desavarsire, *trebuie* sa ni se spuna cine este arcsin si atunci...
- ... ne intoarcem la enunt si vedem ca cel ce a adus problema pe lume nu se sinchiseste de cel ce trebuie sa o rezolve. Nici la nivel de liceu, nici la cel de facultate asa ceva nu e permis. Cererea valorii unui calcul nu poate fi pusa sub forma unei ghicitori intermediare.
- forma de prezentare mai merge, este voit "compacta", dar din pacate... ne intoarcem la faptul ca mai devreme sau mai tarziu trebuie sa ni se faca muuuuulte propozitii in prezentare, spunându-ne ca atat sin cat si arcsin sunt functii de o variabila complexa, a doua
--- fie multivaluata
--- fie venind cu domeniu / codomeniu.
Asa ceva este de datoria celui ce propune problema.
- Sensul problemei nu l-am inteles. Dupa ce ne facem griji deosebite despre arcsin 2, totul se dizolva in aer aplicand o formula.
- Ce invatam din aceasta problema, in orice caz mai mult decat din problema
"Sa se calculeze sin( 2pi -arcsin(1/2) )."
Ce? Ce se invata?
Daca invatam ca exista arcsin 2, atunci problema trebuie sa vina sub forma "Sa se dea cumva sens lui arcsin(2)" . Problema este de forma: "Daca suntem in Arad si ne ducem la Craiova, cumparam doua scuturi, dupa care ne intoarcem cu ele cu tot in Arad, cate scuturi avem?"
- Partea estetica mai merge in prezentare, este ceva "compact", ceva ce tine putin loc. Dar cel ce da solutia... (poate incerca cu serii Taylor, desigur, dar din pacate nu avem bila de convergenta suficient de mare. Care este de exemplu raza de convergenta a seriei Taylor scrisa explicit aici:
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Infinite_series
? Se afla cumva 2 in bila de convergenta? Ce facem atunci ca sa ajungem la 2?)
Acest tip de problema este un mod sigur de problema "discordie".
Cei ce rezolva problema, chiar daca stiu de numere complexe si de sin si chiar arcsin in numere complexe, au atata chin sa explice ca totul are sens, incat de obicei pierd puncte. Cei ce oricum nu vor arcsin(2) pe lume "pierd puncte" din punctul de vedere al celui ce "stie solutia". Pe scurt, cei ce rezolva au situatie dificila si munca sau ghicitul nu merita punctele. Caz tipic de a baga discordia in cel ce rezolva.
Daca cineva nu rezolva problema, se duce la cineva care "stie mai mult" si incearca sa dea rezolvarea. Asa ceva depinde mereu de "cat de mult" si "ce mai mult". In orice caz, cel ce incearca sa faca ceva inca pierde. Reactia naturala "uita, nu te ajuta, lasa-l pe ala care a adus pe lume asa ceva in lumea lui" nu face altceva decat sa strice ziua celui ce a incercat ceva pe partea cu stiutul mai mult.
Pe scurt: O problema ambigua, care impacheteaza o ghicitoare pentru o solutie din care nu se invata mai mult decat din sin(a+b) = ... Dar care are o putere deosebita de a imparti lumea in doua tabere, fiecare tabara pierde la sfarsit.
Si la sfarsitul zilei tragem linie si adunam.
Ce structura am invatat? Nici una?
Ce ne ramane din toata problema? Nimic. Inca nu stim analiza complexa de facultate si de unde au venit formulele pentru sin si cos, nici seriile lor Taylor, nici daca sin( 2pi - arcsin(2) ) este o "multivaloare" ...
Ce prieteni am castigat? Nici unul.
Daca peste o luna sau un an cineva se apuca sa citeasca postarile, ce alege? Nimic, deja dupa a doua se opreste. Daca inca are nervi tari sa citeasca ce am scris, mai putin nu se putea, se opreste de asemenea repede. Daca totusi citeste diagonal, ce mesaj se poate extrage din tot ce am scris? Nici unul matematic. Singurul mesaj care este si ramane este faptul ca "am avut mereu o problema cu arcsin(2)".
Ne-ar ramane insa mult mai mult, anume pentru totdeauna, daca am avea de rezolvat, am rezolva chiar sau doar am vedea rezolvarea pentru:
- fie " Sa se calculeze sin( 2pi - arcsin(1/2) ) ."
- fie " Sa se calculeze arccosh( 2 ) ."
Pe aceasta pagina am intalnit nenumarate probleme deosebite, la nivel de a VI-a sau la nivel de a XII-a, care "mi-au salvat ziua", probleme de o estetica deosebita, sau probleme cu un mesaj. Din pacate, postarea de fata nu mi-a salvat ziua.
Access general
Conţine mesaje necitite
