O postare anterioara m-a facut sa ma gandesc la legatura dintre numitorul unei fractii (ireductibile) si reprezentarea ei zecimala.

Poate fi demonstrat faptul ca orice numar periodic provine dintr-o fractie care nu poate sa aiba la numitor un multiplu de 2 sau de 5. Mai poate fi demonstrat faptul ca orice numar cu o reprezentare zecimala "infinita" trebuie sa aiba la numitor un numar in a carui descompunere sa se afle un factor diferit de 2 si de 5.

Asa se poate demonstra ca o fractie care are la numitor un multiplu de 2 sau 5 si in acelasi timp multiplu si de un numar diferit trebuie sa aiba ca reprezentare zecimala un numar periodic mixt.

Exista si un alt fel de demonstratie, intr-o maniera mai directa (fara a incerca sa demonstram contrariul)?

Multumesc.

Inainte sa clarificam in detaliu o demonstratie, cred ca e bine sa clarificam urmatoarele doua exemple particulare. (Primul pentru drumul in directia fractie ireductibila devine numar zecimal, a doua in directia opusa.)

P.S.
Calculatorul aproximeaza:
? 17./91
%4 = 0.18681318681318681318681318681318681319
si vedem mai sus perioada 186813

"Din intamplare", daca amplificam fractia data incat sa dam de 999 999 in numarator, anume cu 999999 / 91 = 10989, atunci in numarator avem
? 17 * 10989
%6 = 186813

Am inteles. Cred ca s-a strecurat o mica greseala in formularea: "Ramane sa mai inmultim cu numarul de cel mult..". Acel cu nu cred ca trebuie sa fie acolo.

Si numarul cred ca este 1.000001000001000001... . Primul unu este important atunci cand se imparte cu

, pentru a se pastra perioada.

Da, multumesc, am tiparit in graba si nu este bine.
Mesajul a ajuns, dupa cum bine vad, dar nu e bine ca nu stiu sa ma exprim.
(Mai citesc si altii...)

Cand am scris...

[Citat]

In ceea ce priveste fractiile periodice mixte, in gimnaziu am avut o formula care trece de la o reprezentare periodica mixta la fractia corespunzatoare. Demonstratia acestei formule cred ca raspunde la ambele intrebari.

Daca plecam de exemplu cu
0,2897562(1117)
atunci ni se spune la scoala sa ne legam de
(28975621117 - 2897562 ) / 99990000000
in care am repetat in numitor
- nouarul corespunzator lungimii perioadei si
- zeroul corespunzator cu lungimea partii din fata perioadei folosite.
? (28975621117 - 2897562 ) / 99990000000
%1 = 5794544711/19998000000
? (28975621117 - 2897562 ) / 99990000000.
%2 = 0.28975621117111711171117111711171117112

Ne scapam de multe probleme cu formularea daca insistam sa avem mereu numere zecimale intre 0 si 1, deci ceva de forma 0,...
Nu vad nici un castig daca ne legam de reprezentarea zecimala a numerelor
2,897562(1117)
28,97562(1117)
289,7562(1117)
2897,562(1117)
28975,62(1117)
in loc de
0,2897562(1117)
(urmand sa detectam de cate ori intra exact 2 sau 5 in numitorul fractiei ireductibile corespunzatoare).

Singura "problema" care ramane este poate daca vrem o formulare exacta legata de lungimea perioadei si de lungimea partii care o precede. Aunci trebuie sa avem grija pe amble parti, pe cea cu fractiile si pe cea cu numerele zecimale.
Dar din nou, este mai complicat sa formulam intrebarea exacta decat simplitatea informatiei exacte pe care o primim in cazul particular.

Daca ne legam de exemplu de
0,2897562(1112) = 0,289756(2111)
atunci...
Sau de 0,1(81) = 0,(18) .
Insa nu vad nici o necesitate in a vedea cazul "(strict) mixt" separat de cel "pur". Poate e mai bine daca consideram cazul "mixt" ca si cum ar fi cel general, eventual avem ceva de lungime zero pana ne incepe perioada.
Si a scrie o conditie in care "ultima cifra din partea mixta difera de ultima cifra din partea periodica" pentru a asigura un fel de minimalitate a partii mixte ar face elevii sa ne "iubeasca precizia" deja din primele clase.